32.2. Розподіли Фермі-Дірака та Бозе-Ейнштейна

Позначимо g_k — число можливих станів частинки з енергією W_k. Наприклад, якщо йдеться про електрон в атомі водню, то число таких станів 2n², де n — головне квантове число. Нехай далі n_k — число частинок з енергією W_k. Якщо ці частинки ферміони, то відповідно до принципу Паулі даний стан може бути або вільним (n_k=0), або зайнятим (n_k=1), тобто n_k приймає лише два значення — 0 або 1. Для бозонів у даному стані може бути скільки завгодно частинок, тобто n_k може приймати будь-які цілі значення 0, 1, 2, ... .

Основна завдання квантової статистики — знайти функцію розподілу частинок за енергією, тобто таку функцію f_k, яка будучи помноженою на число можливих станів з енергією W_k, давала б середнє число частинок, що мають дану енергією W_k:

.

(32.1)

Функція розподілу f_k характеризує ймовірність того, що даний енергетичний стан зайнятий.

Для ферміонів ця функція має вигляд (Додаток  9)

,

(32.2)

і називається функцією розподілу Фермі-Дірака.

Енергія W_F називається енергією Фермі. Щоб з'ясувати фізичний зміст енергії Фермі, розглянемо поводження функції (32.2) поблизу абсолютного нуля, тобто при . Якщо W_n<W_F, то при , і, отже, f_n=1. Якщо ж W_n>W_F, то при , і, отже, f_n=0. Таким чином, при абсолютному нулі енергія Фермі має зміст граничної енергії: всі стани з енергією W_n<W_F зайняті, а з енергією W_n>W_F вакантні.

Рис. 32.1

Графік функції розподілу Фермі-Дірака при T=0 показано на рис. 32.1 суцільною лінією. У міру зростання температури графік функції розподілу стає більш пологим (пунктирна крива); стани з енергією порядку kТ, меншою за W_F, починають частково звільнятися, а стани з енергією порядку kТ, але більшою за W_F, починають частково «заселятися». Можна показати, що ймовірність заповнення стану з енергією Фермі при T ≠ 0 дорівнює 0,5.

Для систем, що складаються зі змінного числа бозонів (фотонів, фононів — див. §33.2) функція розподілу має вигляд (Додаток. 9)

,

(32.3)

і називається функцією розподілу Бозе-Ейнштейна. З врахуванням того, що енергія фотона (фонона) W=h, розподіл Бозе-Ейнштейна приймає вигляд

.

(32.4)

33. Фізика твердого тіла

33.1. Елементи зонної теорії кристалів

Рис. 33.1

У додатку 8 показано, що при зближенні атомів і утворенні двохатомної молекули енергетичні рівні атомів розщеплюються на два підрівні енергії. Аналогічно можна показати, що при зближенні N атомів і їх об'єднанні в єдине ціле (кристал) внаслідок взаємодії атомів їх енергетичні рівні розщеплюються на N (або більше) близько віддалених підрівнів (рис. 33.1). Таку сукупність підрівнів, що виникла в результаті розщеплення вихідного енергетичного рівня атомів, будемо далі називати дозволеною зоною енергії (або просто дозволеною зоною). Відстані між підрівнями енергії в межах дозволеної зони становлять ~10^{‑ 23}  еВ, що значно менше енергії теплового руху частинок (kT~10^-2 еВ).

Розподіл електронів за енергетичними підрівнями у межах дозволеної зони визначається принципом мінімуму енергії (відповідно до якого спочатку заповнюються підрівні з меншими значеннями енергії) і принципом Паулі.

Розглянемо, наприклад, рівень енергії атома з головним квантовим числом n=1. Цей рівень невироджений, оскільки йому відповідає лише одне значення орбітального квантового числа. При утворенні кристала цей рівень утворює зону, що складається з N підрівнів. У такій зоні відповідно до принципу Паулі може розміститися не більш як 2N електронів.

Розглянемо тепер рівень енергії атома з n=2, l=1. Такий рівень енергії трикратно вироджений, оскільки орбітальному квантовому числу l=1 відповідають значення магнітного квантового числа: m=–1, 0, +1. У кристалі виродження знімається: утворюється 3N підрівнів енергії. Отже, максимальне число електронів, які можуть розміститися в зоні, породженої рівнями енергії атома з n=2, l=1, дорівнює 23N = 6N. Аналогічно аналізують і інші зони.

Зони в кристалі можуть бути не заповненими електронами, заповненими повністю або частково. Результат заповнення залежить від того, яким рівнем енергії атома породжена зона. Розглянемо різні випадки.

Нехай на рівні енергії атома із квантовими числами n=1, l=0 перебувають два електрони із протилежними спінами. Якщо в кристалі є N атомів, то у відповідній зоні буде N підрівнів, на кожному з яких розміститься по два електрона (усього 2N електронів). Таким чином, у цьому випадку вийде повністю заповнена зона.

Якщо на рівні атома з n=2, l=0 (як, наприклад, в атома літію) перебуває один електрон, то в кристалі з N атомів буде N електронів. Усього ж підрівнів у зоні — 2N. Тому така зона буде заповнена наполовину.

Незаповнена (порожня) зона утвориться в тому випадку, якщо на відповідному рівні енергії атома немає жодного електрона.

Електричні властивості твердих тіл визначаються взаємним розташуванням заповнених, частково заповнених і порожніх зон. Залежно від конкретної ситуації тверде тіло має різні електричні властивості. На основі зонної теорії всі тверді тіла за їх електричними властивостями можна розбити на три основні групи: метали, діелектрики та напівпровідники. Тверде тіло можна віднести до однієї із цих груп залежно від розташування валентної зони й зони провідності. Валентною зоною (ВЗ) називається найвища з повністю заповнених електронами зон (рис. 33.2). Наступна зона після валентної називається зоною провідності (ЗП). Зона провідності може бути або частково заповненою електронами, або незаповненою (рис. 33.2,а,б).

Рис. 33.2

Електричні властивості твердих тіл визначаються взаємним положенням валентної зони та зони провідності, а також тим, порожня зона провідності чи заповнена частково. У зв'язку із цим немає необхідності розглядати всі зони кристала, досить розглянути зазначені. Якщо зона провідності частково заповнена електронами, то ми маємо справу з металами (рис. 33.3). Розглянемо випадок, коли зона провідності порожня. Електрони перебувають у валентній зоні, що відділена від зони провідності валентною зоною. Залежно від ширини заборонної зони розрізняють діелектрики й напівпровідники. Чіткої границі в такій класифікації немає. Прийнято вважати, що тверде тіло є діелектриком, якщо ширина заборонної зони W > 4 еВ; якщо ж W < 4 еВ, те таке тіло відноситься до напівпровідників.

Рис. 33.3