18. Единичная числовая окружность. Определение тригонометрических функций числового аргумента. Область определения и значений.

Числовая окружность

Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка A — правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу:

1) Если t > 0, то, двигаясь из точки A в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины t. Точка M и будет искомой точкой M(t).

2) Если t < 0, то, двигаясь из точки A по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины |t|. Точка M и будет искомой точкой M(t).

3) Числу t = 0 поставим в соответствие точку A; A = A(0).

Единичную окружность с установленным соответсвием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

19. Вычисления числовых значений тригонометрических функций для аргументов

n/6, n/4, n/3, 0, n/2, n, 3/2*n, 2n.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА.

До сих пор, говоря о тригонометрических функциях, мы считали, что аргументами этих функций являются углы или дуги. Теперь мы хотим ввести в рассмотрение тригонометрические функции числового аргумента. Такое желание вполне естественно. Когда мы говорим, например, о квадратной функции у = ах², то под х понимаем просто   число.   

Это   число   может   характеризовать время в свободном падении тел (S= gt²/₂ ), сопротивление электрической цепи в законе Джоуля — Ленца (Q = IR²) и т. д. Почему же в таком случае, говоря, например, о функции у = tg x, мы под х должны  понимать обязательно угол?

Определение. Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радианов. Косинусом числа х называется число, равное косинусу угла в х радианов.

Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргументах.

Например,       и т. д.

Здесь уже     ^π/₄ , ^π/₃    и ^π/₆  не углы, выраженные  в радианах, а просто числа.

Упражнения

Какие из данных чисел являются положительными и какие отрицательными .

1.   a) sin 3; б) cos 6; в) tg 9; г) ctg 12.

2.   a) cos (-5); б) tg (—10); в) sin (—15); г) ctg (—20).

20. Знаки тригонометрических функций. Свойство четности и нечетности.

Из определений следует, что знаки косинуса и секанса совпадают со знаком абсциссы точки числовой единичной окружности, а знаки синуса и косеканса – со знаком ординаты точки. Знаки тангенса и котангенса находим по знакам синуса и косинуса одного и того же аргумента.

Функция y = f(x) называется четной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется. График четной функции симметричен относительно оси 0у.

Функция y = f(x) называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется не только по знаку. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.