-
Графический способ решения линейных систем. Случай единственного решения, множества решений и не имеет решения в зависимости от коэффициента.
Рассмотрим уравнения с двумя переменными х-3у=10. При каких значениях переменных Х и У получится верное равенство.
Если х=10, а у=0, то x-3y=10 – верное равенство.
Если х=16, а у=2, то x-3y=10 – верное равенство.
Если же х=-2, у=-3, то x-3y=10 – неверное равенство.
При х=0, у=7, x-3y=10 – тоже неверное равенство.
Решением уравнения с двумя неизвестными переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство
Если дано уравнение с двумя переменными Х и У, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной Х, а на второе – значение переменной У.Так, решениями уравнения x-3y=10,согласно вышесказанному, будут пары (10;0) и (16;2), а пары чисел (-2;-3) и (0;7) решениями уравнения не являются.
Ясно, что это уравнение имеет и другие решения, более того, уравнение имеет бесконечное множество решений. Для отыскания их удобно выразить одну переменную через другую, например, Х через У
х=10+3у
Выбрав произвольное значение У, вычисляем соответствующее значение Х. Например, если у=4, то х=10+3·4=22, то есть пара чисел (22;4) тоже является решением нашего уравнения.
Если ставится задача найти общие решения двух или нескольких уравнений, то говорят, что надо решить СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ.
Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, например
Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений.
Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Способы решения систем
1.Графический способ.
Пусть требуется решить систему уравнений
Построим в координатной плоскости графики уравнений системы. Графиком первого уравнения является прямая АВ, а графиком второго – прямая СD. (см. рис 1)
Рис.1
Координаты любой точки прямой АВ являются решением уравнения 2х+3у=5, а координаты любой точки прямой CDявляются решением уравнения 3х-у=-9.
Координаты точки пересечения прямых АВ и CDудовлетворяют как первому, так и второму уравнению, то есть являются решением системы. Графики пересеклись в точке К (-2;3), значит система имеет единственное решение х=-2; у=3, то есть (-2;3). Указанный способ решения называется графическим.
Графиками обоих уравнений системы являются прямые:
-
эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке - это значит система уравнений имеет единственное решение(как это было в рассмотренном примере);
-
эти прямые могут быть параллельны - это значит система не имеет решений(говорят, что система несовместна);
-
эти прямые могут совпадать, что означает, что система имеет бесконечно много решений (говорят, что система неопределена)
Заметим, что графический способ решения системы считают очень наглядным, но решения получаются приближенными. Рассмотрим алгебраические способы решения.
2.Способ подстаноки.
Пример1.
Способ подстановки состоит в следующем:
1)Выражаем одну из переменных через другую в одном из уравнений системы:
Например, у через х во втором уравнении
у=3х+9
2) Подставим выражение 3х+9 вместо у в первое уравнение
2х+3(3х+9)=5
1) Далее, решая полученное уравнение, находим х.
2х+9х+27=5
11х=-22
Х=-2;
4) Зная х, находим у=3·(-2)+9; у=3.
Покажем, как оформляется описанный алгоритм решения:
Пример2.
Ответ: (-1;1).
3.Способ сложения.
Рассмотрим систему уравнений,
в которых коэффициенты при одной из переменных либо одинаковы (как в (1)), либо противоположны (как в системе (2)), и постараемся исключить одну из переменных (в (1) системе у) путем вычитания, а во втором х сложением уравнений:
Рассмотрим систему уравнений, уже знакомую нам
Здесь сразу исключить переменную Х или переменную У из обоих уравнений с помощью сложения или вычитания уравнений не удастся. Нужен подготовительный этап:
а) уравняем коэффициенты переменных Х.
Для этого умножим первое уравнение на 3 , а второе умножим на 2:
б) уравняем коэффициенты переменных У. Для этого умножим второе уравнение на 3:
