- •Часть 2
- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •1. Требования к выполнению контрольной работы
- •2. Основные формулы, термины и определения
- •Раздел "Интегральное исчисление функции одной переменной"
- •3. Примерный вариант контрольной работы №2 Задание № 1 по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
- •Задание № 2 по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"
- •4. Решение примерного варианта контрольной работы Задание № 1 по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
- •Задание № 2 по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"
- •5. Варианты контрольных работ для слушателей зачного отделения
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант № 1
- •Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 4 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 5 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 6 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 7 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 8 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 9 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 10 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Рекомендуемая литература
- •Образец оформления титульного листа контрольной работы
- •Часть 2
Задание № 2 по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"
Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение
Для вычисления интеграла, воспользуемся свойствами неопределенного интеграла ((20) – (24)) и таблицей интегралов (см. таб.2), предварительно представив подынтегральную функцию в виде суммы трех функций:
.
Прежде, чем записать ответ, целесообразно сделать проверку. Производная полученной в результате интегрирования функции должна быть равна подынтегральной функции, т.е. должно выполняться соотношение (17).
Проверка: .
Ответ: .
Задача 2. Вычислить неопределенный интеграл .
Р
1. Первый способ. Воспользуемся свойством инвариантности (24). Для этого предварительно вычислим дифференциал . Тогда и окончательно получим
2. Второй способ. Используем метод замены переменной (метод подстановки). Введем новую переменную
.
Вычислим дифференциал
,
тогда:
,
.
Вернемся к старой переменной (сделаем обратную подстановку)
.
Проверка:
.
Ответ: .
Задача 3.
Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение
Заметим, что в исходном интеграле
,
тогда, внося функцию под знак дифференциала, получим
.
Проверка:
.
Ответ: .
Задача 4. Вычислить определенный интеграл .
Решение
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (27):
.
Подставляя пределы интегрирования, получим
.
Ответ: 9.
Задача 5. Вычислить определенный интеграл .
Решение.
1. Найдем неопределенный интеграл , используя метод интегрирования по частям.
В формуле интегрирования по частям (25)
положим
; .
тогда
; ,
.
Применим интегрирование по частям к последнему интегралу:
.
Таким образом,
,
откуда окончательно получим
.
2. Вычислим исходный определенный интеграл, подставляя пределы интегрирования в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница (27):
Ответ: .
Задача 6. Вычислить определенный интеграл
Решение.
Используем метод замены переменной (29). Введем новую переменную:
,
вычислим
.
Определим новые пределы интегрирования из равенства :
при x = 1 получим ,
при x = 2 получим .
Меняя переменную и вычисляя интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (27), получим:
.
Ответ: .
Задача 7. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение.
Исходное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, выполняя следующую последовательность действий:
1. Представим в исходном уравнении производнуюв виде :
.
2. Умножим обе части уравнения на :
3. Разделим переменные, поделив обе части уравнения на :
.
4. Проинтегрируем обе части уранения:
,
3
Преобразуем полученное ввыражение
,
,
откуда получим общее решение уравнения:
Ответ: .
Задача 8. Решить задачу Коши:
;НУ: у (0) = –3.
Решение
1. Найдем общее решение дифференциального уравнения. Так как уравнение является простейшим, то его решение находится интегрированием функции, стоящей в правой части уравнения:
.
2. Найдем значение произвольной постоянной С, соответствующее частному решению дифференциального уравнения, подставляя в общее решение начальное условие у = –3, х = 0:
.
3. Запишем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Для этого подставим найденное значение произвольной постоянной С= –3 в общее решение уравнения:
.
Сделаем проверку:
.
Ответ: .