Равносильность, законы логики первого порядка

Определение. Формулы F(x₁,…,x_n) и G(x₁,…,x_n) называются равносильными, если для любой интерпретации  с областью М высказывания (F)(a₁,…,a_n) и (G)(a₁,…,a_n) при любых a₁,…,a_n из М одновременно истинны или одновременно ложны.

Пусть F(x)=(y)P(x,y), G(x)=(y)P(x,y), где Р – символ двухместного предиката. Докажем, что формулы F(x) и G(x) равносильны. Возьмем интерпретацию  с областью М. Пусть высказывание (F)(a) истинно для aM. Истинность этого высказывания одначает, что не для всякого yM высказывание (P)(a,y) истинно. Следовательно, найдется bM, для которого высказывание (P)(a,b) ложно. Если высказывание (P)(a,b), ложно, то высказывание (P)(a,b) истинно. Отсюда следует, что найдется yM такой, для которого высказывание (P)(a,y) истинно. Это означает истинность высказывания (G)(a). Итак, мы доказали, что если высказывание (F)(a) истинно, то высказывание (G)(a) тоже истинно. Обратная импликация доказывается аналогично. Значения истинности высказываний (F)(a) и (G)(a) при любом aM совпадают. Следовательно, формулы F(x) и G(x) равносильны.

Определение. Формула F(x₁,…,x_n) называется тождественно истинной, если для любой интерпретации  с областью М высказывание (F)(a₁,…,a_n) при любых a₁,…,a_n из М является истинным.

Как и в случае логики высказываний. Приведем список основных равносильностей – законов логики предикатов. Прежде всего, получим законы логики предикатов из законов 1–21 логики высказываний, понимая под F,G,H – произвольные формулы логики предикатов. Дополним полученный список законами, специфичными для логики предикатов и получим полный список законов логики предикатов.

1. H ↔ G = (H → G)  (G → H)

2. H → G = ~H  G

3. H  G = G  H

4. H  G = G  H

5. (H  G)  S = H  (G  S)

6. (H  G)  S = H  (G  S)

7. H  (G  S) = (H  G)  (H  S)

8. H  (G  S) = (H  G)  (H  S)

9. H  0 = H

10. H  1 = 1

11. H  1 = H

12. H  0 = 0

13. H  ~H = 1

14. H  ~H = 0

15. ~(~H) = H

16. ~(H  G) = ~H  ~G

17. ~(H  G) = ~H  ~G

18. (H G)  (H ~G) = H

19. (H G)  (H ~G) = H

20. H  (H  G) = H

21. H  (H  G) = H

22. H  H = H

23. H  H = H

24. H → G = ~G → ~H

25. (x)(H(x) G(x)) = (x)(H(x)  (x)G(x)

26. (x)(H(x)G(x))= (x)H(x)(x)G(x)

27. (x)(y)H(x,y) =(y)(x)H(x,y)

28. (x)(y)H(x,y) = (y)(x)H(x,y)

29. ~(x)H(x) = (x)~H(x)

30. ~(x)H(x) =(x)~H(x)

31. (x)(H(x)G) = (x)H(x)G,

32. (x)(H(x)G) = (x)(H(x)G, где G не содержит x.

33. (Q₁x)(Q₂z)(H(x)G(z)) = (Q₁x)H(x)(Q₂z)G(z)

34. (Q₁x)(Q₂u)(H(x)G(u)) = (Q₁x)H(x)(Q₂u)G(u),где Q₁, Q₂ кванторы  или , u не входит в H(x), а x не входит в G(u).

35. (x)H(x) = (z)H(z),

36. (x)H(x) = (z)H(z).

В законах 35 и 36 переменная z не входит в F(x), а переменная x не входит в F(z).

В логике высказываний мы применяли два способа доказательства равносильности формул: построение совместной таблицы истинности и переход от одной формулы к другой с помощью законов. В случае логики первого порядка остается только второй способ.

Проиллюстрируем его на примере следующей задачи: доказать равносильность формул:

F=(x)(y)[S(x)&P(x,y)(z)(T(z)&P(x,z))]

G=(x)(y)[S(x)&P(x,y)&(z)(T(z)P(x,z))].

Применим к формуле F последовательно законы 26, 27 и 20, получим, что формула F равносильна формуле

F₁=(x)(y)[(S(x)&P(x,y))(z)(T(z)&P(x,z))].

Далее, используя законы 18,19 и 27 из F₁, получим формулу

F₂=(x)(y)[S(x)&P(x,y)&(z)(T(z)&P(x,z))].

Осталось заметить, что в силу законов 17 и 20 в формуле F₂ подформулу (T(z)&P(x,z)) можно заменить на T(z)P(x,z).

Подчеркнем, что доказательство равносильности двух формул будем проводить с помощью законов логики первого порядка. Доказательство того, что формулы неравносильны, будем осуществлять построением интерпретации, при которой одна формула истинна, другая ложна. Например, так, как это было сделано выше для доказательства неравносильности формул (x)(F(x)G(x)) и (x)F(x)(x)G(x). Разумеется, до построения интерпретации формулы можно предварительно преобразовывать с помощью законов.