1. Методы проецирования

Проекцией точки А на плоскость проекций π₁ называется точка А₁ пересечения проецирующей прямой  с плоскостью проекций π₁, проходящей через точку А, (рис. 1.1):

Проекция любой геометрической фигуры есть множество проекций всех ее точек. Направление проецирующих прямых  и положение плоскостей π₁ определяют аппарат проецирования.

Центральным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие лучи исходят из одной точки S – центра проецирования (рис. 1.2).

Параллельным проецированием называют такое проецирование, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению S (рис. 1.3).

.

Рис. 1.1. Проекция точки А на плоскость проекций π₁

.

Рис. 1.2. Пример центрального проецирования

.

Рис. 1.3. Пример параллельного проецирования

Параллельное проецирование представляет собой частный случай центрального проецирования, когда точка S находится на бесконечно большом расстоянии от плоскости проекций π₁.

При заданном аппарате проецирования каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций.

Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А₁ может соответствовать бесчисленное множество точек А^’, А^’’, …, расположенных на проецирующей прямой (рис. 1.4).

Для определения положения точки в пространстве при любом аппарате проецирования необходимо иметь две ее проекции, полученных при двух различных направлениях проецирования (или при двух различных центрах проецирования).

.

Рис. 1.4. Пример расположения множества точек на проецирующей прямой

Так, из рис. 1.5 видно, что две проекции точки А (А₁ и А₂), полученные при двух направлениях проецирования S₁ и S₂ , определяют единственным образом положение самой точки А в пространстве – как пересечение проецирующих прямых  ₁ и  ₂, проведенных из проекций А₁и А₂ параллельно направлениям проецирования S₁ и S₂.

.

Рис. 1.5. Определение положения точки А в пространстве

2. Центральное проецирование.

Если все проецирующие лучи исходят из собственной точки (точки, находящейся в обозримом пространстве), то проецирование называется центральным, а саму точку - источник проецирующих лучей, называют центром проецирования. Обычно центр проекций обозначают буквой S.

Таким образом, аппарат проецирования включает в себя: центр проецирования, проецирующие лучи и плоскость проецирования. Для проецирования произвольной точки через нее и центр проекций проводят прямую. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и является центральной проекцией заданной точки на выбранной плоскости проекций.

На рис. 1.1 центральной проекцией точки А является точка a_pперпесечения прямой SA с плоскостью P. Так же построены центральные проекции b_p, c_p, d_p точек B, C, D на плоскости Р. Прямые, проходящие через центр проекций и проецируемые точки, называютпроецирующими прямыми.

Если точки расположены на одной проецирующей прямой, то их проекцйй совпадают: В принадлежит SB, С принадлежит SC b_p≡c_p.Все множество точек пространства, принадлежащих одной проецирующей прямой, имеет при одном центре проецирования одну центральную проекцию на заданной плоскости проекций.

Но одна проекция точки не позволяет однозначно определить ее положение в пространстве. Для обеспечения обратимости чертежа, т.е. однозначного определения положения предмета в пространстве по его проекциям, нужны дополнительные условия, например, можно задать второй центр проекций.

Проекция кривой линии представляет собой линию пересечения проецирующей конической поверхности с плоскостью проекций. Так, на рисунке 1.2 проецирующая поверхность Q пересекается с плоскостью проекций Р по кривой a_pb_p, являющейся проекцией линии АВ. Однако a_pb_p - это проекция всех линий, принадлежащих проецирующей поверхности Q. (рис.1.3).

Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек. Например, при построении на плоскости проекций Р проекции треугольника АВС (рис. 1.4) достаточно построить проекции a_p, b_p, c_p трех его точек - вершин А, В, С.

Оригинал, состоящий из множества точек, проецируется связкой (пучком) проецирующих лучей, исходящих из центра проецирования. На практике для изображения прямой строят не более 2-х точек. Чтобы построить многоугольник или многогранник строят проекции их вершин, затем соединяют их в соответствующие фигуры, и для многогранников ещё устанавливают видимость рёбер.

Свойства центрального проецирования

1. Проекция точки есть точка.

2. Проекция линии есть линия.

3. Если точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии.

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий.

3. Параллельное проецирование.

Параллельное проецирование (рис.1.5) можно рассматривать как частный случай центрального проецирования, при котором центр проекций удален в бесконечность (S ).

При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении отностиельно плоскости проекций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными, в остальных случаях - косоугольными.

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают новые свойства.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проекций, также не обеспечивают обратимости чертежа. Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.