15. Граф состояний смо. Уравнения Колмогорова. Как правило, смо изображают ввиде размеченного (взвешенного) графа состояний.

Рассмотрим пример:

Система «S» может находиться в четырех состояниях «S₁», «S₂», «S₃», «S₄». Переход системы из состояния в состояние происходит под действием потоков с интенсивностями λ_ij (см. рисунок)

Имея размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний p_i(t) как функции времени. Для этого составляются и решаются уравнения Колмогорова — особого вида дифференциальные уравнения.

dp₁(t)/dt=-λ₁₂p₁(t)-λ₁₃p₁(t)+λ₂₁p₂(t)

dp₂(t)/dt=-λ₂₁p₂(t)-λ₂₄p₂(t)+λ₁₂p₁(t)+λ₃₂p₃(t)

dp₃(t)/dt=λ₁₃p₁(t)+λ₄₃p₄(t)-λ₃₂p₃(t)

dp₄(t)/dt=λ₂₄p₂(t)-λ₄₃p₄(t)

Обязательно добавляется еще одно уравнение:

p₁(t)+p₂(t)+p₃(t)+p₄(t)=1 (нормировочное условие)

Эта система линейных ДУ решается при начальных условиях: t=0; p_i(t)=1; p_j(t)=0; i≠j; i=1, …, n; p_i(t) — вероятность какого-то состояния; p_j(t) — все остальные вероятности.

Решая систему линейных ДУ, можно получить вероятность всех состояний как функций времени: p₁(t); p₂(t); p₃(t); p₄(t).

Как меняются вероятности p_j(t) со временем? Стремятся ли они к какому-либо пределу?

Оказывается, если СМО проработала достаточное количество времени, наступает в системе предельный стационарный режим. Условно пишут, что он наступает при t→∞. В данном режиме вероятности состояния системы p_j(t) стремятся к своим предельным значениям, которые не зависят от времени: p_j(t)→p_j. Их называют финальными вероятностями. В этом случае в ДУ Колмогорова левые части приравниваются к 0, т. е. dp_i(t)/dt=0, и система ДУ Колмогорова превращается в систему линейных уравнений.

0=λ₂₁p₂-(λ₁₂+λ₁₃)p₁

0=λ₁₂p₁+λ₃₂p₃-(λ₂₄+λ₂₁)p₂

0=λ₁₃p₁+λ₄₃p₄-λ₃₂p₃

0=λ₂₄p₂-λ₄₃p₄

По физическому смыслу финальная вероятность представляет собой среднюю долю времени нахождения системы в соответствующем состоянии. Напр., p₁=20%. Это означает, что в среднем 20% времени СМО будет находиться в состоянии «S₁».

Поскольку данная система (2) не содержит свободных членов, она имеет бесчисленное множество решений. Поэтому, чтобы ее решить, необходимо добавить такое условие

p₁+p₂+p₃+p₄=1 — нормировочное условие.

Работа СМО характеризуется показателями эффективности (характеристики СМО).

Показатели эффективности рассчитываются только для предельного стационарного режима. Поэтому для определения показателей эффективности, необходимо составлять не ДУ Колмогорова, а систему линейных уравнений для финальных вероятностей.

16. Процессы «рождения-гибели» среди однородных Марковских процессов. Имея размеченный граф состояний, можно легко написать систему линейных уравнений для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается данные уравнения решить заранее в общем виде. В частности, это удается сделать, если граф состояния системы представляет собой так называемую «схему рождения и гибели» (см. рисунок).

Особенностью данного графа является то, что все состояния системы можно «вытянуть» в одну цепочку.

Термин «схема рождения и гибели» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Примером модели чистого рождения является процесс оформления свидетельства о рождении детей. В качестве модели чистой гибели может служить случайное изъятие хранящихся на складе запасов (без пополнения).

Пользуясь графом, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей:

S₀: 0=-λ₀₁p₀+λ₁₀p₁ => λ₀₁p₀=λ₁₀p₁ => p₁=λ₀₁p₀/λ₁₀

S₁: 0=λ₀₁p₀-λ₁₀p₁-λ₁₂p₁+λ₂₁p₂ => -(λ₁₀p₁-λ₀₁p₀)-λ₁₂p₁=λ₂₁p₂ => λ₁₂p₁=λ₂₁p₂ => p₂=λ₁₂p₁/λ₂₁ => (подстановка p₁) p₂=λ₀₁λ₁₂p₀/λ₁₀λ₂₁

… p₃=λ₀₁λ₁₂λ₂₃p₀/λ₁₀λ₂₁λ₃₂

… p_n=λ_n-1,n … λ₁₂λ₀₁p₀/λ_n,n-1 … λ₂₁λ₁₀

Т. о., все вероятности состояний СМО p₀, p₁, p₂, …, p_n можно выразить через одну вероятность — p₀.

Подставим выражения для всех вероятностей p₁, p₂, …, p_n в нормировочное условие. Получим:

p₀(1+λ₀₁/λ₁₀+λ₁₂λ₀₁/λ₂₁λ₁₀+…+λ_n-1,n…λ₁₂λ₀₁/λ_n,n-1…λ₂₁λ₁₀)=1

Отсюда:

p₀=(…)^-1

Остальные вероятности вычисляются через p₀. Полученные формулы используются при решении задач теории МО.