9Билет Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

      

 Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k,    j х k = i,    k х i = j.  Докажем, например, что iхj=k.

1) ki, kj;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (

. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

 Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb) = (а ) х b = а х (b ).

Пусть >0. Вектор (ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( а)хb также перпендикулярен векторам а и b(векторы а, а лежат в одной плоскости). Значит, векторы (ахb ) и ( а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому (a хb )= ахb . Аналогично доказывается при <0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства

10Билет

Пусть  и , где , — два конечных множества.

Назовём матрицей размера  (читается m на n) с элементами из некоторого кольца или поля  отображение вида

.

Если индекс i пробегает множество M, а j пробегает множество N, то элемент A(i,j) оказывается элементом матрицы, находящемся на пересечении i-той строки и j-ого столбца:

• i-ая строка матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где j пробегает всё множество N;

• j-ый столбец матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где i пробегает всё множество M.

Таким образом, матрица размера  состоит в точности из

• m строк (по n элементов в каждом)

• и n столбцов (по m элементов в каждом).

В соответствии с этим

• каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в n-мерном координатном пространстве ;

• каждый столбец матрицы — как вектор в m-мерном координатном пространстве .

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве  имеющим размерность mn. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); то что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m = n называется размером квадратной матрицы или её порядком.

Действия над матрицами

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами.Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. дляматриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В c_ij = a_ij + b_ij Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что b_ij = k × a_ij. В = k × A b_ij = k × a_ij. Матрица   - А = (-1) × А   называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1А+В=В+А; 2.А+(В+С)=(А+В)+С; 3.А+0=А; 4.А-А=0; 5.1×А=А; 6.α×(А+В)=αА+αВ; 7.(α+β)×А=αА+βА; 8.α×(βА)=(αβ)×А; , где А, В и С - матрицы, α и β - числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первойматрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А_m×n на матрицу В_n×p, называется матрица С_m×p такая, что с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk, т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера. е

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицыназываются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичнаяматрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)^Т = В^ТА^Т; 7. (АВС)^Т = С^ТВ^ТА^Т; 8. (А + В)^Т = А^Т + В^Т;