20. Найпростіші алгебраїчні операції

Якщо визначити на деякій множині M одну або дві бінарні операції і наділити їх певними властивостями, а також визначити наявність нейтральних і симетричних елементів відносно цих бінарних алгебраїчних операцій, можна дістати різні алгебраїчні структури.

Півгрупою називається непорожня множина A з однією бінарною алгебраїчною операцією , яка має тільки властивість асоціативності .

Групою називається півгрупа з одиницею, в якій для кожного елемента існує симетричний.

Група, в якій всі елементи основної множини є степенями одного елемента, тобто є результатами k-кратного застосування операції (k=0,1,2,...), називається циклічною. Цей єдиний елемент називається твірним елементом циклічної групи. Циклічна група з твірним елементом g позначається так: (g)і є абелевою групою вигляду або в залежності від того, яка група розглядається – мультиплікативна або адитивна.

Число елементів групи називають її порядком.

Кільцем називається непорожня множина K, на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення) так, що виконуються наступні умови (аксіоми кільця):

Алгебраїчна структура називається адитивною групою кільця, а – його мультиплікативною півгрупою.

Полем називається комутативне кільце, елементи якого, відмінні від нульового елемента утворюють групу відносно операції .

21.Кільця і поля

По́ле — це алгебраїчна структура, для якої визначені дві пари бінарних операцій: додавання/віднімання та множення/ділення, причому ці операції задовольняють умовам, схожим на властивості арифметичних операцій над раціональними, дійсними або комплексними числами.

Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебраїчна структура, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями подібними до додавання і множення цілих чисел. Вивченням властивостей кілець присв'ячена Теорія кілець.

Конструювання нових кілець з даних:

Якщо підмножина S кільця (R,+,*) разом з операціями + і *, обмеженими S, сама є кільцем, і нейтральний елемент 1 R міститься в S, тоді S називають підкільцем кільця (R,+,*).

Центром кільця R називають множину елементів R, що комутують з кожним елементом з R; таким чином, c знаходиться в центрі кільця, якщо cr=rc для кожного r ∈ R. Центр є підкільцем кільця R. Кажемо, що підкільце S кільця R є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця R.

Прямою сумою двох кілець R і S називаємо Декартів добуток R×S разом з операціями

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) та

(r1, s1) * (r2, s2) = (r1*r2, s1*s2).

22.Основні правила комбінаторного аналізу

Правило суми: Якщо елемент х можна вибрати n способами, елемент у m способами і при цьому ніякий вибір елемента у не співпаде з вибором елемента х, то елемент або х або у можна вибрати m+ n способами.

Правило добутку: Якщо елемент х можна вибрати n способами, елемент у m способами то пару елементів х у можна вибрати m x n способами.

Послідовність {a_i1, a_i2…,a_im-1} називається вибіркою з m елементів. А число m називається обсягом вибірки. Вибірка називається впорядкованою, коли вказаний порядок її елементів. В іншому випадку вибірка називається невпорядкованою. Впорядковану вибірку називаються розміщенням, а невпорядковану – комбінацією.