Ответы на экзамен Котюргина / saaty

f (A) = Ak

Эта формула справедлива и для случая (для кратных собственных значений), когда кратное собственное значение равно нулю. Подставляя сначала

f (A) = A , а затем f (A) = Ak , в обоих случаях при λ = n , λ						j	= 0 , j ≠1 , получаем
				1
		An−1 = nn−2 A, Ak = nk −n−1 An−1
соответственно. Подстановка An−1			из первого результата во второй дает Ak = nk −1 A .
Теорема 7.22. Любой столбец матрицы				A = (ωi ωj )	является решением задачи
о собственном значении Aω = nω ,			ω = (ω1, …, ωn ).
Доказательство.	Так	как	любой	столбец	матрицы			имеет вид
ω1 ωj , ω2 ωj , …,ωn	ωj T ,	то он	является	просто кратным			ω и,	следовательно,

решением задачи.

Из последней теоремы получается предыдущая теорема, так как если обозначить

столбцы A через (a1, a2 , …, an ), то A A = (a1, a2 , …, an )= (na1, na2 , …, nan )= nA .

Теорема 7.23. Любая строка матрицы A = (ωi ωj ) есть решение задачи

υA = nυ .

Доказательство очевидно.

Следствие. Компоненты правого и левого собственных векторов, ω и υ , являются обратными величинами с точностью до постоянного множителя. (Будем называть их двойственными векторами.)

Определим норму матрицы A как A = eT Ae (т. е. она является суммой всех элементов A ).

Как известно, для примитивной матрицы A
lim		Ak e		= cωmax ,
		Ak
k →∞
где c – постоянная, ωmax – нормализованный главный собственный вектор A .

Следующая теорема является упрощенной версией этой теоремы для согласованных матриц.

Теорема 7.24. Если	A положительная согласованная (n×n)-матрица, то
Ae = Cω , где C > 0 постоянная и ω удовлетворяет равенству Aω = nω .
Доказательство. Вектор	Ae является суммой строк A и, очевидно, постоянным

множителем любого столбца. Поэтому он является решением задачи о собственном значении.

Другой вариант доказательства. Легко показать, что A имеет единичный ранг тогда и только тогда, когда существуют векторы x и y , такие, что A = xyT . Отсюда

Aω = (y, ω)x = nω , (y, ω)= y1ω1 +…+ ynωn ,

	и, следовательно,		n
	Aω = (y, e)x = (y, e)			≡ Cω .
		(y, ω)
	Следствие 1. Если A = (ωi ωj ), то Cωi =ωi		n
			∑ωi .
			i=1
	Следствие 2.
	171

Ak e	=	nk −1 Ae	=	Ae	= C (ω , …, ω		), C > 0 .
				eT Ae
eT Ak e nk −1eT Ae					1	n

Следующая теорема показывает, что в случае согласованных матриц компоненты собственного вектора изменяются монотонно с изменениями отдельных элементов.

Теорема 7.25. (Теорема о монотонности.) Пусть A = (aij ) – положительная согласованная матрица с главным собственным вектором ω = (ω1, …, ωn ). Заменим один элемент axy на axy +ε > 0 и, используя строку x , построим новую согласован-

ную матрицу A* = (aij* ). Пусть ω* = (ω1* , …, ωn* ) – главный собственный вектор мат-

рицы A* . Тогда ωx* >ωx .

Доказательство. Так как и A и A* согласованны, любой нормализованный столбец дает главный собственный вектор. Рассмотрим столбец, содержащий 1 axy в

матрице A , и соответствующий столбец, содержащий 1 (axy +ε ) в матрице A* . Два столбца идентичны за исключением этого единственного элемента. Сумма элементов

столбца в A* меньше, чем сумма элементов столбца в A . Поэтому, нормализуя данный столбец, получаем большее отношение для всех тех элементов, которые не ме-

няются в обеих матрицах. В частности, это верно для ωx* , поэтому ωx* >ωx .

В дальнейшем обобщим эту теорему на обратносимметричные матрицы порядка

2, 3 и 4.

Теорема 7.26. Если A – положительная согласованная матрица и A′ получена из A вычеркиванием i -й строки и i -го столбца, то A′ – согласованна и ее соответ-

ствующий собственный вектор получается из A , если положить ωi = 0 и нормализо-

вать компоненты.

Доказательство. Для любой заданной строки A , например для первой, имеем aij = a1i a1 j и i -я строка A зависит от элемента i -го столбца в его первой строке.

Аналогичное следует из aik = a1k a1 j . Поэтому ни один элемент в A′ не зависит от

i -й строки или i -го столбца A и, следовательно, A′ также согласованна. Так как их элементы совпадают за исключением i -й строки и i -го столбца A и решение задачи о собственном значении при согласованной матрице получается из любого нормализованного столбца, получаем утверждение теоремы.

Замечание.

В общем

случае, если

A = (aij )

–

матрица парных

сравнений, а

A′ = (aij′ ) при

aij′ = aij , i,

j =1, …, n , i ≠ k ,

j ≠ k

и

aij′ = 0 , i = k

или

j = k ,

и если

нормализованные собственные векторы уравнений

Aω = λmaxω и

′ ′

= λmaxω

′

– со-

A ω

ответственно ω и ω′, то

ω′ = 0 , однако

ω′

ω′ ≠ ω

ω

β

для всех α

и β . Другими

k

α

β

α

словами, исключение одной строки из матрицы парных сравнений не вызывает пропорционального перераспределения весов среди других строк.

Следующая теорема показывает, что отношения порядка между отдельными aij и ωi ωj довольно сложным образом зависят от всей матрицы A и ее степеней.

Теорема 7.27. Для примитивной матрицы A имеем, что aij ≥ akl , тогда и только тогда, когда ωi ωj ≥ωk ωl , при условии, что

172

			∑aip (Ame)		p		∑akq (Ame)		q
lim			p≠ j			≥ lim	q≠ j
				(Ame)j				(Ame)l
m→∞						m→∞
( ( )p – означает p -ю компоненту вектора).
Доказательство. Из равенства
				n
				∑aijωj = λωi
				j=1
имеем			aij = λωi ωj −(1 ωj )∑aipωp
							p≠ j
и		akl = λωk ωl −(1 ωl )∑akqωq .
							q≠l
Поэтому aij ≥ akl только при
λωi ≥	λωk +(1 ωj )∑aipωp −(1 ωl )∑akqωq .
ωj	ωl				p≠ j			q≠l

Следовательно, теорема верна, если имеет место следующее неравенство:

(1 ωj )∑aipωp ≥ (1ωl )∑akqωq

p≠ j

q≠l

Используя теорему о пределе для примитивной матрицы, заменим каждый ωs на

(Ame)

lim eT Ames ,

m→∞

что завершает доказательство.

Теперь обратимся к важному обобщению предыдущих результатов. Будем считать, что наш разум работает фактически с попарными сравнениями, однако aij яв-

ляются не оценками ωi ωj , а некоторой функцией – aij (ωi ωj ). Например, по наблюдениям Стивенса (см. [22]) aij , осознаваемый для протетических явлений (про-

цессов добавления возбуждения к возбуждению), принимает вид (ωi ωj )a , где a

лежит где-то между 0,3 (в случае оценки громкости) и 4 (в случае оценки электрического удара). Другими случаями являются: яркость – от 0,33 до 0,50, длина – 1,1, продолжительность во времени – 1,15, численность – 1,34, тяжесть – 1,45 и скорость – 1,77. Для метатетических явлений (процессов замещения возбуждения возбуждением), по мнению Стивенса, степенной закон неприменим, т. е. для процессов

мышления a =1.

Эти наблюдения обусловливают интерес к изучению общего решения gi (ωi ),

i =1, …, n ; задачи о собственном значении, где предполагается условие согласованности вида

f (aij ) f (ajk )= f (aik ),

для которого матрица также имеет единичный ранг. Наш основной результат – следующий.

173

Теорема 7.28. (Степенной закон собственного значения.) Если матрица

A = aij (ωi ωj ) порядка n удовлетворяет обобщенному условию согласованности,

то задача о собственном значении

n

∑aij (ωi ωj )qj (ωj )= nqi (ωi ), i =1, …, n , j=1

имеет решение в виде собственного вектора

ωa , …, ωa

≡ q

(ω ), …, q

(ω

n

)

.

(

1

n )

1

1

n

Доказательство.

Выражение aij (ωi

ωj )= giωi g jωj

имеет

место

при

решении

gi (ωi ),

i =1, …, n ,

задачи о собственном значении. Если подставим его в условие

согласованности, то получим

{

f g

i

(ω )

g

j (

ω

j

f g

j (

ω

j )

g

k

(ω

k

) =

f

g

i

(ω )

g

k

(ω

k

)

g

j (

ω

g

k

(ω

k

) .

i

)

i

j )

}

Или,

если

положим

x = gi (ωi )

g j (ωj ),

y = g j (ωj )

gk (ωk ), то получим

f (x) f (y)= f (xy).

Это

функциональное

уравнение

имеет

общее

решение

f (x)= xa .

Таким образом, обобщая условие согласованности для

A , находим, что обобще-

ние соответствующей задачи о собственном значении (с

λmax = n ) возможно, если

заменим

aij

на

постоянную

степень

a

его

аргумента.

Однако

мы знаем, что

aij =ωi

ωj при a =1, поэтому, вообще говоря,

aij = (ωi

ωj )a , из чего следует, что

gi (ωi )

g j (ωj )= (ωi

ωj )a , i, j =1, …, n ,

т. е. gi (ωi )=ωia = g (ωi ), i =1, …, n .

Эта теорема показывает, что решение задачи о собственном значении, удовлетворяющей условию согласованности, дает оценки в степенной шкале. В тех приложениях, где для получения данных используется знание, а не наши ощущения, следует ожидать равенства степени единице, и, следовательно, здесь мы будем иметь оценку в основной шкале. Это наблюдение может быть полезным в социальных приложениях.

Замечание. Отметим, что различные матрицы попарных сравнений могут давать один и тот же собственный вектор. Это довольно удачное обстоятельство, так как позволяет заменять признаки и все же получать тот же самый собственный вектор в качестве ответа. Поэтому можно получить один и тот же результат с различных точек зрения и выбрать те матрицы, которые мы предпочитаем. С другой стороны, мир познания может быть сведен к малому множеству признаков с фиксированными значениями относительной шкалы. Отношения и их интенсивность будут детерминистическими, и индивидуальное предпочтение не будет существенным. Конечно, это не приведет к конфликту. Однако разнообразие с конфликтом богаче детерминизма.

Здесь возникает технический вопрос: при заданном собственном векторе и всех матрицах, из которых он получен, можно ли перейти от одной из них на любую другую, производя малые возмущения в элементах? В частности, возможен ли переход из матрицы отношений к любой другой матрице малыми возмущениями?

Другим вопросом будет: при рассмотрении двух собственных векторов, являющихся малыми возмущениями каждого, существуют ли малые возмущения, которые переводят один класс соответствующих матриц в другой?

174

7.6. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ

Теперь исследуем некоторые свойства положительных, обратносимметричных матриц.

Теорема 7.29. Собственные значения положительной обратно-симметричной матрицы удовлетворяют следующему уравнению:

				∑λjλk	= 0 .
				j,k
				j≠k							= tr (A2 )= n2 ,
		Доказательство. Мы знаем,	что λ1 +…+λn = tr (A) = n					иλ12 +…+λn2
так как λi2 – собственное значение A2 . Поэтому
					n
		n2 = (λ1 +…+λn )2 = ∑λi2 +∑λjλk ,
					i=1	j,k
					j≠k
из чего следует, что второе слагаемое справа равно нулю.
		Теорема 7.30. Пусть A = (aij )		есть (n×n)-матрица положительных элементов с
a	ji	= a−1 . A согласованна тогда и только тогда, когда λ					max	= n .
		ij
		Доказательство. Из уравнения
				n
				λ = ∑aijωjωi−1
				j=1
получаем
		n
		nλ −n = ∑aijωjωi−1 = ∑ (aijωjωi−1 +ωiω−j 1 aij ).
		i, j=1		1≤i< j≤n
		i≠ j
		Очевидно, что из равенства aij		=ωi ωj , получим λ = n , а также λmax = n , так как
сумма собственных значений равна n , следу матрицы A .
		Чтобы доказать обратное утверждение, заметим, что предыдущее выражение со-
держит только два члена, включающих a , а именно, a ω ω−1									и ωω	−1	a . Их сумма
				ij			ij	j i	i	j	ij
имеет вид y +(1 y). Чтобы убедиться в том, что n						–	минимальное значение λmax ,
достигаемое единственным образом при aij					=ωi ωj , отметим, что для всех этих чле-
нов y +(1 y)≥ 2 . Равенство			достигается		только	в	предположении				y =1, т. е.
aij		=ωi ωj . Поэтому, когда λmax	= n , имеем
				n
			n2 −n ≥ ∑2 = n2 −n
				i, j=1
				i≠ j
откуда следует, что aij =ωi ωj .
		Если A несогласованна, то можно ожидать, что в некоторых случаях из неравен-
ства aij ≥ akl не следует ωi ωj ≥ωk				ωl . Однако, поскольку ωi ,					i =1, …, n , определя-
ются значениями строки матрицы				A , следует ожидать, что справедлива следующая
теорема.

175

Теорема 7.31. (Сохранение порядковой согласованности.) Если (o1, …, on )

– порядковая шкала объектов i = C1, …, Cn , где из oi ≥ ok следует, что aij ≥ akj , j =1, …, n , то из oi ≥ ok следует, что ωi ≥ωk .

Доказательство. Действительно, из Aω = λmaxω имеем, что

n	n
λmaxωi = ∑aijωj ≥ ∑akjωj = λmaxωk
j=1	j=1

и поэтому ωi ≥ωk .

Теорема 7.32. Любая положительная обратносимметричная матрица порядка

2×2 согласованна.

Доказательство очевидно.

Теорема 7.33. Компоненты нормализованного левого собственного вектора обратносимметричной положительной матрицы порядка 3×3 являются обратными величинами компонент правого собственного вектора.

Доказательство требует использования следующего равенства в выражениях для ω и υ , приведенных в гл. 5 для динамических приоритетов при n = 3 :

−(1−λ)	3	=	a2	+ a2		a2	+3(λ −1).
			13		12 23
			a		a a
			12		13	23

Нормализованное обратное отношение между компонентами левого и правого собственных векторов не выполняется для n = 4 , как видно из следующего контрпримера

		1	1/ 2	1/100	2
		2	1	1/ 3
A =					10		,
			3	1	6
	100
	1/ 2		1/10	1/ 6	1

λmax = 5, 73 ; ω = (0, 031; 0,142; 0, 793; 0, 034); υ = (0,506; 0, 075; 0, 020; 0, 399). Об-

ратный вектор к нормализованному ω будет

(0, 461; 0,102; 0,108; 0, 419).

Следовательно, n = 4 есть первый случай, где решение зависит от согласованности наблюдений и их обоснованности, а не от структуры матрицы парных сравнений. (Имеются контрпримеры для n = 5, 6, 7 .)

Возникает искушение предположить, что свойство обратной симметричности между компонентами главного левого и правого собственных векторов для n ≥ 4 имеет место тогда и только тогда, когда матрица согласованна.

Наблюдение Джонсона–Ванга–Беина

Джонсон, Ванг и Беин в [71] заметили, что так как левый и правый собственные векторы не являются обратными величинами для n ≥ 4 , для решения ряда задач можно воспользоваться как левым, так и правым собственным вектором. Это наблюдение представляет интерес и с философской и с математической точек зрения. Повидимому, для нашего сознания не существует единственного пути синтеза собственных мер доминирования и антидоминирования, или рецессивности для получения единой интерпретации реальности. Хотя и возможно создание итеративных схем для объединения и левого и правого собственных векторов в одну меру, такая мера нуждается в простой естественной интерпретации.

176

В рамках МАИ для включения двух противоположных концепций использован анализ «эффективность – стоимость». Это представляется эффективным путем рассмотрения двух сторон человеческого опыта.

7.7. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА

Часто возникает вопрос, насколько чувствительны приоритеты, задаваемые компонентами собственного вектора, к небольшим изменениям в величинах суждений. Желательно, чтобы приоритеты не колебались в широких пределах при малых изменениях в суждении. Существуют три способа проверки этой чувствительности: 1) нахождение математической оценки колебания; 2) получение ответов, основанных на большом числе компьютерных вычислений, построенных соответствующим образом для проверки чувствительности; 3) комбинация предыдущих двух способов, особенно при невозможности проведения полной аргументации аналитически.

Как уже указано, в случае согласование λmax равно следу матрицы, который

представляет собой сумму единичных элементов. При этом следует ожидать, что собственный вектор, соответствующий возмущенной матрице, изменится на величину, обратно-пропорциональную размеру матрицы.

Собственные значения матрицы лежат между ее наибольшими и наименьшими строчными суммами элементов. Изменение величины элемента в матрице влияет на

соответствующую строчную сумму и обусловливает тенденцию изменения λmax на

такую же величину. Однако поскольку на изменение собственного вектора также влияет и размер матрицы, можно ожидать, что чем больше матрица, тем меньшим будет изменение каждой компоненты.

Начнем анализ этой проблемы, рассмотрев матрицу A с характеристическим уравнением (см. [185])

det (A −λI ) = λn + a1λn−1 +…+an = 0 .

Пусть теперь A +εB – матрица, полученная введением малого возмущения в A . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

det (A +εB −λI ) = λn + a1 (ε )λn−1 +…+ an (ε ) = 0 ,

где ak (ε ) – полином степени (n −k ) от ε , такой, что ak (ε ) → ak при ε → 0 .

Пусть λ1 – максимальное простое собственное значение, соответствующее ха-

рактеристическому уравнению A . Уилкинсон в [185] доказал, что для малого ε имеется собственное значение матрицы A +εB , которое может быть выражено как сумма сходящегося степенного ряда, т. е.

λ1 (ε ) = λ1 + k1ε + k2ε2 +…

Пусть ω1 – собственный вектор A , соответствующий λ1 и ω1 (ε ) собственный вектор A +εB , соответствующий λ1 (ε ). Элементы ω1 (ε ) – полиномы от λ(ε ) и ε ,

и так как степенной ряд для λ1 (ε ) сходится при малом ε , каждый элемент ω1 (ε )

может быть представлен как сходящийся степенной ряд от ε . Можно написать

ω1 (ε ) =ω1 +εz1 +ε2 z2 +…

Если матрица A имеет линейные элементарные делители, то существуют полные множества правых и левых собственных векторов ω1, ω2 , …, ωn и υ1, υ2 , …, υn , таких, что υωi j = 0 , i ≠ j .

177

Заметим, что ωj и υj являются j -ми собственными векторами (правым и левым), а не j -ми компонентами векторов.

Векторы zi , могут быть представлены через ωi следующим образом:

n

zi = ∑sijωj , j=1

что после подстановки в формулу для ω1 (ε ) дает

n n

ω1 (ε )=ω1 +∑∑tijε jωi ,

i=2 j=1

где tij получены делением sij на коэффициент ω1 .

Возмущения собственных значений первого порядка даны коэффициентом k1 выражения для λ1 (ε ).

Теперь выведем выражение для возмущений первого порядка соответствующих собственных векторов. Нормализуя векторы ωj и υj и используя евклидову метри-

ку, находим

Мы знаем, что

υj

ωj

=1.

(A +εB)ω1 (ε )= λ1 (ε )ω1 (ε ).

При подстановке выражений для λ1 (ε )

и ω1 (ε ), полученных выше, и использо-

вании равенства Aω1 = λ1ω1 имеем

n

∑(λj −λ1 )t j1ωj + Bω1 = k1ω1 .

j=2

Умножив обе части на υT , после упрощения получим

j

k =υT Bω

υTω , для j =1

1

1

1

1

1

и

t j1 = (υTj Bω1

(λ1 −λj )υ1Tωj ), для

j ≠1 ,

где, как уже отмечено, k1 – возмущение λ1

первого порядка, и

где [B]

k1 = (υ1T Bω1 υ1Tω1 )≤[B] υ1Tω1 ,

– сумма элементов B .

Итак, для достаточно малого ε

чувствительность λ1

зависит в основном от вели-

чины υTω , которая может быть произвольно малой.

1

1

Возмущение первого порядка ω1

определяется выражением

n

n

n

(∆A)ω1 (λ1 −λj )

υTj ωj )ωj ,

∆ω1 = ε∑t j1ωj = ε∑(υTj Bω1 (λ1 −λj )

υTj ωj )ωj = ∑(υTj

j=2

j=2

j=2

где ∆A ≡ εB .

Собственный вектор ω1 будет весьма чувствителен к возмущениям в

A , если λ1

близко к любому из других собственных значений. Когда λ1 значительно отдалено

178

от других собственных значений и ни одно из υiTωi не мало, собственный вектор ω1 , соответствующий собственному значению λ1 , будет сравнительно нечувствителен к

возмущениям в A . Это имеет			место, например,	для кососимметричных матриц
( aji = −aij ).
υTω	i	в некотором отношении взаимозависимы,		что предотвращает возможность
i
того, чтобы только одно 1 υiTωi ,			i =1, …, n , было большим. Поэтому, если одна из

них произвольно велика, они все произвольно велики. Однако желательно, чтобы они были малы, т. е. близки единице. Положим

ωi = ∑cijυj

и υj = ∑dijωj ,

j

j

где

ωi

=

υi

=1,

i =1, …, n . После подстановки легко убедиться, что

c =ωTω υTω

j

и d

ij

=υTυ

i

υTω

j

.

ij

j i j

j

j

Тогда

υiTωi = ∑dijωTj ∑cijυj = ∑(ωTj ωi )(υTj υi ) υTj ωj ,

j

j

j

для i = j

ωTω =υTυ

i

=1

i i

i

и

υiTωi = (υiTωi )−1 +∑(ωTj ωi )(υTj υi )(υTj ωj )−1 .

j≠i

Так как ωTω = cosθ

ij

и υTυ

i

= cosϕ

ij

, имеем

j i

j

(υTωi )i−1

≤

(υiTωi )−1

+∑

(υTj ωj )−1

≤1+ ∑

(υTj ωi )−1

,

j=i

j=i

что должно быть верным для всех i =1, 2, …, n . Это доказывает, что все υiTωi должны быть одного порядка.

Теперь покажем, что для согласованных матриц (υ1Tω1 )−1						не может быть произ-
вольно большим. В случае согласованности имеем
		n
υ1T = (1 ω11 , …, 1 ω1n ) ∑1 ω1 j ,
		i=1
ω1T = (ω11, …, ω1n ).
Поэтому
(υ1Tω1 )−1 = (1 ω11 , …, 1 ω1n )(ω11, …, ω1i )T		∑1 ω1i		−1	= n	∑1 ω1i		−1
								> n ,
		n				n
		i=1				i=1
так как
n	n
n ∑1 ω1i <	∑ω1i n .
i=1	i=1
Теперь (υ1Tω1 )−1 принимает минимальное значение, когда все ω1i							равны, так как

n

∑ω1i =1.

i=1

179

Практически, для удерживания (υ1Tω1 )−1 вблизи минимума нужно оперировать с

относительно сравнимыми объектами, такими, чтобы ни одна из из ω1i не была

слишком малой.

Для улучшения согласованности число n не должно быть слишком большим. С другой стороны, если мы собираемся полностью использовать имеющуюся информацию и получить практически обоснованные результаты, n не следует брать слиш-

ком малым. Например, если отбросить величины υ1Tω1 < 0,1, то нужно иметь n ≤ 9 . При допущении малого числа сравниваемых объектов и их относительной срав-

нимости можно показать, что ни одна из компонент векторов ω1 и υ1 не будет про-

извольно малой и, следовательно, скалярное произведение двух нормализованных векторов не может быть произвольно малым.

При большой несогласованности никто не может гарантировать, что ни одна из компонент ω1 не будет произвольно малой. Поэтому близость к согласованности является достаточным условием устойчивости. Отметим также, что следует ограничиваться сравнительно малым числом элементов, таким, чтобы величины всех ω1i бы-

ли одного порядка.

Приведенные выше соображения свидетельствуют о том, что обратносимметричные матрицы являются архитипичными матрицами, создающими в случае согласованности устойчивые собственные векторы при малых возмущениях. Это позволяет сделать важный вывод: для гарантирования устойчивости оценки в основной шкале отношений, полученной из парных сравнений, разумно сопоставлять небольшое число относительно сравнимых элементов. В социальных науках к этому выводу уже давно пришли экспериментально. Ученые заметили, что число элементов должно

быть 7 ± 2 , однако соответствующим образом не осознали необходимость требования относительной сравнимости [106].

Другим полезным выводом является следующее: если считать «объектами одной важности» объекты, не отличающиеся друг от друга по важности больше, чем в 10 раз, то шкала, используемая при парных сравнениях сопоставимых объектов, должна иметь деления, лежащие где-то между единицей и десятью, в противном случае будут сравниваться объекты, которые в большой степени несопоставимы по важно-

сти. Это приведет к сравнительно малым значениям для некоторых из ω1i и соответ-

ственно к нарушению стабильности шкалы, т. е. изменение собственного вектора будет непредсказуемым даже при легких изменениях величин суждений в матрице сравнений.

Формула Варгаса

Определяя величину возмущения собственного вектора при некотором значении возмущения исходной матрицы, мой ученик Л. Варгас показал в своей диссертации

[169], что если обратносимметричную матрицу A возмутить обратносимметричной матрицей P с использованием поэлементного (Адамара) произведения (которое обозначается A P ), то результирующая матрица будет обратносимметричной, а величина возмущения ∆ω главного собственного вектора ω матрицы A дается выражением

∆ω = (< y, ω >−1 y −1) ω ,

где < , > – скалярное произведение двух векторов, а y ω – вектор поэлементного произведения y на ω ; вектор y – главный собственный вектор матрицы

180