ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

101	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора

к зоне с меньшей их концентрацией, и при длительном протекании в замкнутом объёме он приводит к выравниванию концентраций по всему этому объёму. Так же обстоит дело и с тепловыми нейтронами, диффундирующими в среде. Разница в представлениях о газовой и нейтронной диффузии состоит только в том, что:

-при газовой диффузии молекулы сталкиваются и обмениваются кинетическими энергиями между собой непосредственно, а обмен кинетическими энергиями между тепловыми нейтронами происходит не в непосредственных столкновениях, а опосредствованно, то есть через посредство ядер среды, которые рассеивают их в процессе диффузии;

-при газовой диффузии газовые молекулы не исчезают, а при диффузии тепловых нейтронов в реальных средах происходит непрерывное их поглощение.

Применительно к диффузии тепловых нейтронов закон Фика записывают так:

					(6.1.1)
	I (r ) D* n(r ) D* grad n(r ).
	В этом выражении:
I (r ) - вектор плотности тока диффузии тепловых нейтронов в точке среды с
координатами r (напомним:		величина вектора		определяет	интенсивность
			I

направленного перемещения нейтронов через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению этого вектора, за единицу времени, а сам вектор указывает направление их переноса);

	- оператор Гамильтона функции		распределения плотности тепловых
n(r )		n(r )

нейтронов по координатам, иначе называемый в теории поля градиентом функции n в точке с координатами r . Градиент - тоже вектор, но его направление - направление

возрастания плотности нейтронов - противоположно направлению вектора I , поэтому в правой части (6.1.1) и стоит знак минус.

Скалярная величина градиента представляет собой сумму частных производных функции плотности нейтронов по координатам:

| grad n( r ) | = dn/dx + dn/dy + dn/dz,

так что в частном случае линейной диффузии, когда плотность нейтронов изменяется только вдоль одной координатной оси, величина градиента плотности нейтронов вырождается в обычную первую производную функции плотности по этой координате.

D* - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии.

Так как вектор плотности тока I имеет скалярную размерность нейтр/см2с, а градиент плотности нейтронов - нейтр/см4, то размерность коэффициента диффузии D* - см2/с.

В теории реакторов в силу большего удобства закон Фика чаще записывают не через градиент плотности тепловых нейтронов, а через градиент плотности их потока (grad Ф). Формально умножив и разделив правую часть (6.1.1) на одну и ту же величину - среднюю скорость движения тепловых нейтронов (v), получим:

		D*
I (r ) D* n(r )			[v n(r )] D Ф(r ),			(6.1.2)
		v
	где коэффициент			D = D*/v		(6.1.3)

сохраняет смысл коэффициента диффузии, то есть плотности тока при единичной величине градиента плотности потока тепловых нейтронов.

В кинетической теории нейтронов доказано, что величина этого коэффициента D определяется рассеивающими свойствами среды с учётом анизотропии рассеяния тепловых нейтронов на её ядрах, то есть:

tд = a/v = 1/ av

Для получения представлений о порядке величины tд

подсчитаем её для для стандартных нейтронов (v = 2200 м/с).

Путь теплового нейтрона от точки рождения до точки поглощения

Точка рождения ТН (точка, в которой замед-

ляющийся нейтрон «пересёк» Ес ) Точка поглощения

теплового нейтрона Удаление теплового нейтрона от точки рождения в момент поглощения

Рис.6.1. Иллюстрация к понятиям пути, проходимого тепловым нейтроном во время диффузии, и удаления его от точки рождения в момент поглощения.

В течение времени диффузии тепловой нейтрон в среде пробегает ломаный путь, равный среднему пробегу до поглощения в рассматриваемой среде a = 1/ a. А поскольку тепловой нейтрон проходит этот путь со средней скоростью v, время, за которое он его проходит:

102	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора
	D = tr/3 = 1/3 tr	(6.1.4)

Таким образом, в развёрнутом виде закон диффузии тепловых нейтронов:

	1
I (r )		Ф(r )	.	(6.1.5)
	3 tr

6.1.3. Время диффузии тепловых нейтронов. Под временем диффузии tд

понимается среднее время от момента рождения теплового нейтрона до момента его поглощения.

(6.1.6)

в различных средах

Вводе при нормальных условиях ( a 0.02 см-1): tд = 1/(2.2 .105 .0.02) 2.3 .10-4 c;

Вграфите ( = 1.6 г/см3, a 3 . 10-4см-1): tд = 1/(2.2 .105 . 3 .10-4) 0.015 c;

Втопливной композиции UO2 плотностью = 10 г/см3 при обогащении x = 2% ( a 0.36 см-1) tд = 1/(2.2 .105 . 0.36) 1.26 .10-5 c.

Как видим, время диффузии тепловых нейтронов - величина, значительно большая времени замедления их до теплового уровня в тех же средах (см.п.5.7). Чем больше поглощающих материалов присутствует в активной зоне теплового реактора, тем меньше величина времени диффузии тепловых нейтронов, а, значит, - меньше среднее время жизни поколения нейтронов в реакторе.

6.1.4. Длина диффузии. Ранее вскользь отмечалось, что диффузионная характеристика среды активной зоны, определяющая величину вероятности избежания утечки тепловых нейтронов, должна быть связана со среднеквадратичным пространственным смещением тепловых нейтронов в процессе диффузии таким же образом, как возраст тепловых нейтронов связан со среднеквадратичной длиной замедления. К этому подталкивает почти полная аналогия представлений о процессах замедления и диффузии.

По определению кинетической теории нейтронов:

Квадрат длины диффузии тепловых нейтронов в среде - шестая часть среднего квадрата удаления теплового нейтрона в момент его поглощения от точки его рождения в этой среде.

__

103 Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора

L2 = (1/6) lт2

(6.1.7)

И поскольку полученное в кинетической теории значение среднего квадрата пространственного смещения теплового нейтрона при диффузии:

___

lт2 = 2/ a tr,

то величины квадрата и самой длины диффузии будут равны:

	L2	=	1		и	L =		1		(6.1.8)
			3 a	tr
								3 a tr

Как видим, квадрат длины диффузии L2 - такая же и по смыслу, и по размерности (см2) характеристика диффузионных свойств среды, какой является возраст тепловых нейтронов т - характеристика замедляющих свойств среды. Длина диффузии среды L (и её квадрат) характеризует её способность давать определённое среднеквадратичное пространственное смещение теплового нейтрона от точки рождения до точки его поглощения.

Поэтому каждому конкретному веществу в нормальных условиях (при t = 20оС или Т = 293К и нормальном атмосферном давлении) свойственна своя, стандартная длина диффузии, например:

-у воды (Н2О) Lo = 2.714 см;

-у графита (С) Lo = 51.2 см;

-у бериллия (Ве) Lo = 22.1 см;

-у оксида бериллия (ВеО) Lo = 30.0 см;

- у тяжёлой воды (D2O) Lo = 171 см и т.д.

Стандартные длины диффузии большинства материалов, используемых в реакторостроении, приводятся в справочниках по ядерным константам.

6.1.5. Зависимости длины диффузии веществ от температуры и давления. Так как величины макросечений поглощения и транспортного равны произведениям соответствующих микросечений на ядерную концентрацию:

a = a N и tr = tr N,

то выражение для квадрата длины диффузии однородного вещества можно представить в таком виде:

	L2 =			1			(6.1.8a)
		3	a		tr	N 2

В правой части выражения (6.1.8а) влиянию температуры подвержены две величины - микросечения поглощения a и ядерной концентрации N.

Величина микросечения поглощения ядер любого вещества с ростом температуры

падает

a(Tн) = 0.886 ao		293		,
		Т н

так как с ростом температуры вещества приблизительно пропорционально величине температуры Т растёт и температура нейтронов Тн.

Ядерная концентрация жидкого или газообразного вещества с ростом температуры падает, твёрдого вещества - практически не изменяется.

Температурное уменьшение a и N в соответствии с (6.1.8а) приводит к

однозначному увеличению длины диффузии. Схематически это выглядит так:

104	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора

	Tн a L
to T	L
	N L

Рис.6.2. Схема воздействия температуры на величину длины диффузии тепловых нейтронов в среде.

Длину диффузии вещества часто называют мерой прозрачности вещества для тепловых нейтронов, подразумевая под этим, что чем выше величина L, тем больше направленное удаление теплового нейтрона от места его рождения до места поглощения, и тем большую толщину слоя этого вещества могут проницать тепловые нейтроны до их поглощения.

В связи с этим существует еще одна практичная интерпретация понятия длины диффузии.

Если вообразить бесконечный плоский источник тепловых нейтронов

равномерной интенсивности(чего в природе нет!), то, приложив вплотную к этому источнику некоторый объём рассматриваемой среды (вещества), мы обнаружили бы, что плотность потока тепловых нейтронов с удалением от источника в этой среде падает по экспоненциальному закону (рис.6.3):

Ф(x) = Фо exp (- x/L)

Ф(х)	L
Ф0

L L

Ф(х1)

Ф(х1)/е

0				х
	х1	х1+L

Рис.6.3. Характер снижения плотности потока тепловых нейтронов от бесконечного плоского источника тепловых нейтронов в среде и интерпретация длины диффузии этой среды.

Поэтому, если измерить величину плотности потока тепловых нейтронов на произвольном отстоянии x1 от источника и на отстоянии (x1+L), то отношение измеренных величин плотностей потоков тепловых нейтронов будет равно:

Ф(x1)/Ф(x1+L) = exp(-x1/L)/exp[-(x1+L)/L] = e = 2.7182818...

Поэтому:

Длина диффузии в среде - это толщина слоя этой среды, в пределах которого величина плотности потока тепловых нейтронов от бесконечного плоского источника тепловых нейтронов снижается в е раз.

С ростом давления p плотность жидкого или газообразного вещества

105	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора

увеличивается, а вместе с нею увеличивается и ядерная концентрация вещества N, увеличение которой в соответствии с (6.1.8а) приводит к уменьшению длины диффузии.

Из (6.1.8а) несложно вывести общую зависимость квадрата длины диффузии в любом веществе от температуры и давления:

								2
L2 ( p, t) L20		T				0
		н						,	(6.1.9)
		293			( p, t)

где o - плотность жидкости или газа при нормальных условиях, а

(p,t) - плотность при рассматриваемых давлении и температуре.

6.2.Скорость утечки тепловых нейтронов из единичного объёма активной зоны

Уравнение баланса тепловых нейтронов можно записывать для всех тепловых нейтронов в реакторе:

dN/dt = (скорость генерации ТН в а.з.) - (скорость поглощения ТН в а.з.) - (скорость утечки ТН из а.з.),

а можно и для единичного объёма активной зоны (например, для 1 см3):

dn/dt = (ск. генерации ТН в 1см3а.з.) - (ск. поглощения ТН в 1см3а.з) - (ск. утечки ТН из

1 см3 а.з.) (6.2.1)

Второе уравнение получается из первого путём почленного деления обеих частей его на величину объёма активной зоны Vаз. В этом случае в левой части (6.2.1) получается средняя по объёму активной зоны скорость изменения плотности тепловых нейтронов, равно как и в правой части этого логического равенства получаются средние величины скоростей генерации, поглощения и утечки тепловых нейтронов в 1 см3 среды активной зоны.

Выражения для первых двух слагаемых правой части (6.2.1) нам уже известны, остается получить выражение для третьего - скорости утечки тепловых нейтронов из единичного объёма среды активной зоны.

Для этого около произвольной точки активной зоны с координатами r(x,y,z) мысленно выделим элементарный объём dV = dx dy dz и сосчитаем вначале скорость утечки тепловых нейтронов из этого объёма.

Предположим, что плотность тока тепловых нейтронов на левой грани этого элементарного объёма площадью dy dz равна Ix, а на правой грани (той же площади dy dz) она равна Ix+dIx. Это значит, что через левую грань в элементарный объём входит ежесекундно Ixdydz тепловых нейтронов, а через правую грань проходит ежесекундно (Ix+dIx)dydz тепловых нейтронов.

Z	dx
Ix	Ix+dIx	dz
r (x, y, z)

0

X

Y

Рис.6.4. Иллюстрация к выводу величины скорости утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма активной зоны.

106	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора

Разница чисел тепловых нейтронов, ежесекундно пересекающих левую и правую грани элементарного объёма, и есть составляющая скорости утечки тепловых нейтронов из этого объема вдоль оси Оx:

dQx = (Ix+dIx)dydz - Ixdydz = dIxdydz = (dIx/dx)dxdydz = (dIx/dx)dV.

Аналогично рассуждая относительно составляющих скоростей утечки из элементарного объёма вдоль осей Оy и Oz, можно получить:

dQy = (dIy/dy)dV и dQz = (dIz/dz)dV,

а, следовательно, полная скорость утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма вдоль всех трёх координатных осей составит:

dQ = dQx + dQy + dQz = [(dIx/dx) + (dIy/dy) + (dIz/dz)]dV = I(r)dV (6.2.2)

Для получения скорости утечки из единичного объёма надо скорость утечки из элементарного объёма dV разделить на величину этого объёма:

qу = dQ/dV = I(r) (6.2.3)

Но выражение для вектора плотности тока тепловых нейтронов в соответствии с законом Фика для них:

I(r) = - D Ф(r).

Подстановка этого выражения в (6.2.3) дает:

qу = [-D Ф(r)] = -D [ Ф(r)] = - D 2Ф(r),

(6.2.4)

поскольку оператор Гамильтона от оператора Гамильтона функции, как известно, есть оператор второго порядка этой же функции - оператор Лапласа. В теории поля оператор Лапласа иначе называют дивергенцией.

Таким образом, в общем виде локальная скорость утечки тепловых нейтронов из единичного объёма с учётом величины коэффициента диффузии (D = 1/3 tr) выразится так:

			1
	q	у (r )		2Ф(r )	(6.2.5)
			3 tr

6.3. Волновое уравнение, уравнение критичности реактора и величина вероятности избежания утечки тепловых нейтронов

6.3.1. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца). Волновое уравнение получается из уравнения баланса тепловых нейтронов (6.2.1), записанного для критического реактора (то есть dn/dt = 0), путём подстановки в него выражений для скоростей генерации (формула (5.4.14)), поглощения (Ra = aФ) и утечки тепловых нейтронов (формула (6.2.5)):

k aФ exp(-B2 т) - aФ + (1/3 tr) 2Ф = 0,

или, если разделить это выражение почленно на ненулевую величину a:

(1/3 a tr) 2Ф + [k exp(-B2 т) - 1]Ф = 0, или, с учётом того,	что (1/3 a tr) = L2:
2Ф + [k exp(-B2 т) - 1]Ф / L2 = 0	(6.3.1)

А теперь оставим на минуту это выражение и вернемся к п.5.4.3, где было получено уравнение пространственной части решения уравнения возраста Ферми (см. выражение (5.4.8)):

2R/R = - B2,

или

2R + B2R = 0,

(6.3.2)

где функция координат R была впоследствии найдена:

107	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора
	R = k aФ/( To)	(6.3.3)
Подстановка (6.3.3) в (6.3.2) и последующее сокращение на ненулевую
постоянную величину k а / To приводят к следующему выражению:
	2Ф + B2Ф = 0	(6.3.4)

В этом выражении В2 - постоянная величина (параметр реактора).

Уравнения такого типа среди прочих уравнений математической физики известны как простейшие уравнения волнового типа, поэтому уравнение (6.3.4) называют

волновым уравнением критического реактора (или уравнением Гельмгольца).

Его решение для активной зоны конкретных формы и размеров - есть функция Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов по координатам её объёма.

Здесь сразу же уместно задуматься над вопросом: чем вообще может определяться распределение плотности потока тепловых нейтронов в объёме активной зоны критического (то есть стационарного) реактора? - Поскольку функция Ф(r) фигурирует в уравнении волнового процесса, значит ли это, что диффузия нейтронов вообще является волновым процессом? Таким, скажем, как процесс колебания гитарной струны, или процесс распространения волн по водной поверхности, или любой физический процесс, формально описываемый тем же волновым уравнением?

Житейский опыт подсказывает, что амплитуда и частота колебаний гитарной струны (параметры волнового процесса) определяются длиной и диаметром струны (то есть её геометрическими характеристиками), упругими свойствами материала струны и степенью её натяжения (т.е. физическими свойствами колеблющейся среды и условиями организации колебаний).

Аналогично обстоит дело и с распределением Ф(r) в волновом процессе диффузии тепловых нейтронов в активной зоне: оно тоже определяется и геометрией, и физическими свойствами среды активной зоны реактора, и условиями окружения активной зоны. Но так как в уравнении (6.3.4), кроме функции Ф(r), есть лишь один параметр (В2), то именно этот постоянный параметр должен отражать и физические

(материальные) свойства среды активной зоны, и её геометрические свойства. На этом основании параметр реактора (В2) называется и геометрическим параметром (и

обозначается Вг2), и материальным параметром (Вм2).

Вг2 и Вм2 - физически различные характеристики: одна определяется только формой и размерами активной зоны, другая - только составом компонентов активной зоны реактора. Но они равны только в критическом реакторе, поскольку волновое уравнение получено для критического реактора и только для него оно имеет смысл в том простейшем виде, в котором оно было получено.

В некритическом реакторе n(t) idem, dn/dt 0, и поэтому в нестационарном волновом уравнении должно было бы появиться ещё одно слагаемое в правой части, зависящее от времени t.

Возникает закономерный вопрос: о каком волновом процессе может вообще идти речь в критическом реакторе, который является принципиально стационарным, и какое отношение вообще имеет волновое уравнение к стационарному реактору?

- А вот какое: волновое уравнение в форме Гельмгольца (то есть с нулевой правой частью) описывает не волну в движении, а является уравнением стоячей волны. Это совсем не означает, что тепловые нейтроны в реакторе неподвижно застыли в различных точках активной зоны реактора. Они движутся (да еще как!) в направлении от центра к периферии, по пути к ним добавляются ещё тепловые нейтроны, рождаемые за счёт замедления, часть их поглощается на этом пути, часть

108	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора

диффундирует дальше, но так, что в любом микрообъеме активной зоны в любой момент времени число тепловых нейтронов - в итоге протекания непрерывно идущих процессов генерации, поглощения и утечки - поддерживается постоянным, так же, как неизменным во времени поддерживается и энергетический спектр тепловых нейтронов.

Итак, стационарное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) является дифференциальным уравнением стоячей волны плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора. Его решение - функция пространственного распределения величины плотности потока тепловых нейтронов по объёму активной зоны.

6.3.2. Уравнение критичности реактора. Теперь вернемся к уравнению (6.3.1) и

сравним его с уравнением (6.3.4). Сразу бросается в глаза схожесть этих уравнений, хотя и получены они из разных предпосылок: уравнение (6.3.1) - из уравнения баланса тепловых нейтронов в критическом реакторе, а уравнение (6.3.4) - при решении уравнения возраста Ферми тоже для критического реактора. И сразу было отмечено: эта часть решения является пространственной, (т.е. дающей пространственное распределение плотности потока нейтронов любой кинетической энергии в объёме активной зоны). В частности, оно должно быть справедливо и для тепловых нейтронов. Поэтому неудивительно, что оба эти уравнения внешне схожи: они оба описывают одну и ту же величину Ф(r) для одного и того же объекта - критического реактора, - то есть оба они - являются, по существу, одним и тем же уравнением.

А раз это так, то в обоих уравнениях в сходных членах должны быть равными коэффициенты, то есть:

[k exp(-B2 т)-1] / L2 = B2, откуда следует, что

	k exp( B 2 Т	1	(6.3.5)
	1 B 2 L2

Чтобы понять, что собой представляет это уравнение, вернемся на минуту назад, к условию критичности реактора, которое выражается простым равенством kэ = 1. Но величина эффективного коэффициента размножения:

kэ = k pз pт,

а с учётом найденного ранее выражения pз = exp(-B2 т): kэ = k exp(-B2 т) pт.

Приравнивая величину последнего выражения единице, получаем развернутое

условие критичности:
k exp(-B2 т) pт = 1	(6.3.6)
Сравнивая выражения (6.3.5) и (6.3.6), следует сделать выводы:

а) Уравнение (6.3.5) выражает развёрнутое условие критичности реактора. Поэтому его и называют уравнением критичности реактора.

б) Из сходства (6.3.5) и (6.3.6) вытекает, что величина вероятности избежания утечки тепловых нейтронов

pт =	1		= (1 + B2L2)-1	(6.3.7)
	1 B	2 L2

Уравнение критичности можно записать в ещё более развёрнутом виде:

	exp( B2 Т )	1	(6.3.8)
	1 B2 L2

Его вид ясно иллюстрирует взаимосвязь размножающих свойств активной зоны (определяемых величинами , , , , т и L2) с критическими размерами активной зоны (скрытых в величине параметра реактора В2, который в активной зоне критического

109	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора

реактора является и геометрическим, и материальным).

6.3.3. Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов. Полученное выражение для величины вероятности избежания утечки тепловых нейтронов при диффузии (6.3.7) полностью согласуется как с начальной гипотезой о зависимости pт от геометрии и физических свойств среды активной зоны (от геометрического параметра В2 и квадрата длины диффузии L2), так и с физическим смыслом длины диффузии: чем больше L, тем прозрачнее среда активной зоны для тепловых нейтронов, и больше толщина периферийного слоя активной зоны, из которого рождающиеся тепловые нейтроны могут испытать утечку за её пределы в процессе их диффузии, и тем выше доля утекающих из активной зоны тепловых нейтронов, а поэтому меньше доля остающихся в ней тепловых нейтронов рт.

Для практика-реакторщика полезно запомнить качественную зависимость рт от температуры активной зоны. Эта зависимость однозначна: поскольку длина диффузии L в любых веществах с ростом температуры увеличивается (см.п.6.1.5), величина рт = (1 + В2L2)-1 с ростом температуры в активной зоне из любых материалов и при любой её структуре будет уменьшаться.

to T Tн a L L2 pт.

Рис.6.5. Цепочка температурного влияния на величину вероятности избежания утечки тепловых

нейтронов.

Примечание. В этом смысле температурная зависимость вероятности избежания утечки замедляющихся нейтронов pз = exp(-B2 т), прослеживаемая через температурную зависимость возраста тепловых нейтронов в активной зоне, является хотя и аналогичной, но не столь однозначной, как рт. В твёрдых веществах возраст тепловых нейтронов с ростом температуры уменьшается (за счёт повышения величины энергии сшивки Ес), а потому величина рз за счёт наличия в активной зоне реактора твёрдых замедлителей (графита - в уран-графитовом реакторе РБМК) может даже увеличиваться, если графита в активной зоне настолько больше, чем второго замедлителя (воды), что эффект температурного уменьшения возраста в графите превалирует над эффектом температурного увеличения возраста в воде, отчего средний возраст тепловых нейтронов в активной зоне может с ростом температуры уменьшаться, а величина рз - увеличиваться. Реакторам типа ВВЭР эта неоднозначность не свойственна: в них увеличение средней температуры активной зоны приводит к обязательному уменьшению величин и рз, и

рт.

Так или иначе, однако, стоит взять на заметку, что за счёт изменения температуры замедлителя принципиально возможно управлять эффективными размножающими свойствами активной зоны реактора (kэ) через посредство величин рз и рт.

6.4. Геометрический параметр цилиндрического реактора без отражателя и поле тепловых нейтронов в нём

Большинство энергетических тепловых реакторов имеют цилиндрическую форму активной зоны или очень близкую к ней. Среди многих соображений при выборе формы активной зоны побеждает стремление сделать её симметричной, технологичной и удобной для организации теплосъёма.

Геометрический параметр Вг2 критической цилиндрической активной зоны может быть с равным успехом найден и из решения уравнения критичности, и из решения волнового уравнения, но первое является трансцендентным и не разрешается относительно В2 аналитически, следовательно, при известных величинах k , L2 и т из уравнения критичности можно найти только величину В2 (методом последовательных приближений), но нельзя получить удобной аналитической зависимости Вг2 от размеров активной зоны (радиуса и высоты её).

110	Тема 6. Диффузия и размножающие свойства теплового реактора
Такое выражение В2 = f(Rаз,Hаз) можно получить только после решения волнового
уравнения и разрешения его относительно Вг2:
	Bг2 = - [ 2Ф(r)] / [Ф(r)],	(6.4.1)

Но волновое уравнение - дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, поэтому для получения конкретного (частного) его решения надо обязательно располагать парой граничных условий.

6.4.1. Граничные условия для решения волнового уравнения. Предположим вначале для простоты, что речь идёт о гомогенной цилиндрической активной зоне, окруженной пустотой (вакуумом). Почему именно пустотой?

Дело в том, что вакуум, кроме того, что он даёт возможность сравнивать различные критические активные зоны в одинаковых условиях, является в некотором смысле абсолютным поглотителем утекающих из активной зоны нейтронов, поскольку он не содержит в себе объектов, с которыми нейтрон может столкнуться, изменить направление движения и вернуться обратно в активную зону.

Единственной точкой цилиндрической гомогенной активной зоны, о величине плотности потока тепловых нейтронов мы можем хоть что-то сказать, является центр её (середина её высоты по оси симметрии). И единственное, что мы можем сказать относительно плотности потока тепловых нейтронов в этой точке, - то, что величина

Ф(r) в ней максимальна, поскольку это - наиболее удалённая от всех границ активной зоны точка, и возможности для утечки тепловых нейтронов из неё за пределы активной зоны минимальны. z

0	r

Рис.6.6. Размещение начала цилиндрической системы координат в геометрическом центре цилиндрической активной зоны.

И если поместить начало цилиндрической системы координат в центр активной зоны (рис.6.6), то первое граничное условие

Ф(r=0,z=0) = Фо = Фmax

- выглядит неопределённо, так как неясна конкретная величина этого максимума. Это же граничное условие (как условие максимума функции Ф(r,z)) можно записать более определённо:

(dФ/dr)z=o = 0 и (dФ/dz)r=o = 0.

(6.4.2)

Второе граничное условие в такой ситуации должно быть обязательно нетривиальным, то есть должно указывать на любое конкретное значение функции Ф(r,z) в какой-либо точке активной зоны. Здесь мы выдыхаемся: при всем желании указать такую точку в пределах активной зоны мы не в состоянии. На действительных границах активной зоны (при r = Rаз или z = Hаз/2) величина плотности потока тепловых нейтронов - явно не нулевая.

Поэтому в качестве второго граничного условия вводится искусственное условие, состоящее в следующем.