1fedorenko_a_a_ivanchura_v_i_praktikum_po_teorii_avtomatiches

41

Напряжение с тиристорного преобразователя UОВ поступает на обмотку возбуждения ОВ генератора.

Объект управления - генератор постоянного тока Г с обмоткой независимого возбуждения ОВ. Управляющее воздействие - напряжение U3 снимаемое с потенциометра R. Управляемая (стабилизируемая) величина - напряжение UГ генератора. Возмущающее воздействие - изменение нагрузки

R H . Связь между входными и выходными переменными каждого из

элементов системы характеризуется следующими линеаризованными уравнениями:

промежуточный усилитель

U	У		= К		U ,
			1		U = (U3 − UOC ) - рассогласование;
где К1 – коэффициент передачи усилителя;
тиристорный преобразователь:
T		dUOB		+ U		OB	= K	ТП	U		,
										У
ТП			dt

где КТП, ТТП – коэффициент передачи и постоянная времени тиристорного преобразователя;

генератор постоянного тока:

TВГ dEГ + EГ = КГ × UОВ ,

dt

где КГ - коэффициент передачи генератора, ТВГ - постоянная времени обмотки возбуждения генератора;

якорная цепь генератора:

T

dir

+ i

=

1

(E

- U

),

Я dt

Г

R Я

Г

Г

UГ = iГ × R ΗΟ + iГО × R Η ,

iГО =

UГО

,

R ΗΟ

где ТЯ, RЯ - постоянная времени и сопротивление якорной цепи генератора без

учета сопротивления RН нагрузки;

ЕГ, UГ,iГ- отклонения ЭДС, напряжения

и тока генератора от установившегося

значения; iГО , UГО , R НО - ток

42

напряжение генератора Г и сопротивление нагрузки до возмущения (до изменения RН); R H = (R H − R HO ) - приращения сопротивления нагрузки;

цепь обратной связи:

UOC =KOC ×UГ,

где КОС - коэффициент передачи цепи обратной связи.

Варианты значений параметров элементов системы приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3.

				Варианты значений параметров
Параметры	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
KOC		0,5	1	0,8	0,7	0,6	0,75	1	0,9	0,9
KТП	20	20	20	30	30	30	35	35	40	40
К1 , Кr	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
ТТП ,С×10−3	5	5	5	6	6	6	8	8	8	8
ТВГ ,С	0,2	0,36	0,28	0,15	0,24	0,48	0,1	0,1	0,32	0,44
ТЯ ,С×10−2	1	1,5	2	1,3	2,2	3	3,5	2	2,5	3
R Я ,Ом ×10−1	3	1,7	1,5	0,86	0,51	0,278	1,87	0,728	0,096	0,062

Сопротивление нагрузки принять RНО = 9 RЯ; напряжение генератора - UГО = 230 В.

2.6. Контрольная работа №4

Цель работы – закрепить материал по разделам классической теории линейных систем автоматического управления, основанной на структурном представлении и преобразовании математического описания САУ, на базе понятия передаточной функции и частотных методов анализа и синтеза.

Исходные данные:

Исходным для расчетов является вариант системы автоматического управления функциональная схема которой представлена на одном из рисунков 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 и соответствующие этой схеме параметры приведенные в таблицах 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3.

Номер варианта студент выбирает по двум последним цифрам номера зачетной книжки согласно таблицы 2.3.1. Если две последние цифры

43

превышают значение 30, то номер варианта выбирают путем вычитания из них числа кратного 30. Например: последние цифры номера зачетной книжки – 78, тогда номер варианта – 78 – 2×30 = 18

			Таблица 2.1
Вариант	Задание	Вариант	Критерий исследования
	(номер рисунка)	исходных	на устойчивость
		данных
1	2	3	4
0	1	0	Г
1	1	1	Н
2	1	2	М
3	1	3	Г
4	1	4	Н
5	1	5	М
6	1	6	Г
7	1	7	Н
8	1	8	М
9	1	9	Г
10	2	0	Г
11	2	1	Н
12	2	2	М
13	2	3	Г
14	2	4	Н
15	2	5	М
16	2	6	Г
17	2	7	Н
18	2	8	М
19	2	9	Г
20	3	0	Г
21	3	1	Н
22	3	2	М
23	3	3	Г
24	3	4	Н
25	3	5	М
26	3	6	Г
27	3	7	Н
28	3	8	М
29	3	9	Г

Вчетвертом столбце таблицы следует читать: Г - Гурвица, Н - Найквиста,

М- Михайлова.

Задание

44

1.По дифференциальным уравнениям, соответствующим заданной функциональной схеме, записать передаточные функции и составить структурные схемы для каждого элемента системы.

2.Составить структурную схему системы автоматического управления в

целом.

3.Определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы по управляющему и возмущающему воздействиям, а также передаточные функции по ошибке от этих воздействий.

4.В соответствии с вариантом задания исследовать систему на устойчивость методом Гурвица, Найквиста или Михайлова.

5.Определить установившиеся ошибки в системе от постоянных (единичных) управляющего и возмущающего воздействий.

Указания по выполнению контрольной работы № 4

Методология расчетов при выполнении этой контрольной работы в пояснениях не нуждается, так как детально изложена во всех учебниках по теории автоматического управления, в частности в тех, список которых приведен в конце настоящей разработки [1-11]. Примеры подобных расчетов приведены на с. 54 – 80.

2.7.Контрольная работа №5

Всовременной теории автоматического управления большое распространение получил метод математического описания, в основе которого лежит понятие состояния динамической системы [1,3]. Это понятие соответствует минимально необходимой информации, позволяющей судить о поведении системы в настоящем и будущем. Состояние системы в общем случае характеризуется n фазовыми координатами (переменными состояния). Эти переменные удобно принять за координаты n - мерного вектора состояния

ииспользовать при описании системы мощный аппарат векторно - матричных представлений.

Описание в пространстве состояний полностью выявляет внутреннюю структуру системы и позволяет весьма эффективно и широко использовать при проектировании средства цифровой вычислительной техники.

Настоящая контрольная работа посвящена исследованию системы автоматического управления методом основанном на понятии пространства состояния.

Исходные данные

При расчетах использовать исходные данные и результаты контрольной работы №1.

45

Задание:

1. Составить уравнения состояния по структурной схеме системы автоматического уравнения.

2.Составить уравнения состояния по передаточной функции замкнутой системы автоматического управления по управляющему воздействию.

3.Определить устойчивость системы, используя уравнения состояния, полученные в пункте 1 или 2.

4.Произвести синтез модального регулятора при условиях:

-все переменные состояния доступны измерению;

-синтез регулятора произвести только для управляющего воздействия, полагая возмущающее воздействие равным нулю;

-желаемый характеристический полином замкнутой системы принять в виде полинома соответствующего фильтру Баттерворта 3-го порядка:

DЖ(Ρ) = p3 + 2ω 0 p2 + 2ω 02 p + ω 30 ,	( )
где ω 0 = 1/Т – постоянная, характеризующая желаемое	быстродействие.
Принять Т= 0.02 с.

Указания по выполнению контрольной работы № 5

Линейная система автоматического управления в общем виде может быть описана следующим дифференциальным уравнением:

dn y

+ a

dn−1y

+ ... + a

y = в

dm−1u

+ в

dm−2 u

+ ... + в

du

+ в

u

m−2 dt m−1

dt n

n−1 dt n−1

0

m−1 dt m

1 dt

0

Скалярное уравнение n-го порядка всегда можно привести к системе из n уравнений первого порядка и записать эту систему в виде векторно – матричного уравнения состояния:

& ( ) = ( ) + ( )

X t AX t BU t

где А – собственная матрица параметров системы, характеризует динамические свойства системы; В – входная матрица системы, характеризует воздействие входных величин на переменные состояния; Х(t) – вектор переменных состояний; U(t) – вектор входных переменных.

Систему дифференциальных уравнений переменных состояний необходимо дополнить алгебраическим уравнением выхода системы (уравнением наблюдения)

46

Y(t) = C X(t) + D U(t),

где С – выходная матрица системы, характеризует связь выходных координат Yi с переменными состояния; D – матрица обхода, при описании систем электропривода, обычно равна нулю.

Перейти от общего уравнения системы к уравнениям пространства состояний можно различными способами. При этом можно получить бесконечно большое число форм представления уравнений состояния и наблюдения, а, следовательно, и бесконечное количество наборов переменных состояния. Следует отметить, что для всех этих форм собственные параметрические матрицы имеют различный вид, но одни и те же собственные значения. Одной и той же остается связь между входными и выходными переменными.

В практических расчетах используют канонические формы представления уравнений состояния, то есть формы, для которых собственная параметрическая матрица содержит максимальное количество нулевых элементов. При этом стремятся в качестве переменных состояния использовать реальные физические переменные системы доступные измерению, хотя не исключено, что часть переменных могут быть фиктивными или неизмеряемыми.

Составление уравнений состояния возможно непосредственно по общему дифференциальному уравнению системы, по структурной схеме системы, по известной передаточной функции системы.

Так одна из канонических форм уравнений состояния и выхода, исходя из общего уравнения системы, может быть записана в виде:

	x1		− a n−1
	&
	&
	x 2		− a n−2
...			= ...
	&			− a1
x n−1
	&			− a 0
	x n

где переменные состояния

1	0	....	0
0	1	....	0
... ... .... ...
0	0	....	1
0	0	....	0

у = х1,

x1 = y(t),

	x1		вn−1
	x 2
			вn−2
...			+ ...
				в1
x n−1
				в0
x n

x 2 = x&1 + a n−1x1 − вn−1u, x3 = x& 2 + a n−2 x1 − вn−2 u,

..............................

x n = x& n−1 + a1x1 − в1u.

U,

47

Соответствующая этой форме записи уравнений состояния детализированная структурная схема системы приведена на рис. 2.4.

U

b0

b1

b2

bn-1

	xn		xn-1	x2	1	x = y
	1		1	1		1
	p		p	p	p
(-)	(-)		(-)		(-)
	a0	a1	a2		an-1

Рис. 2.4

При составлении уравнений состояния по структурной схеме системы целесообразно преобразовывать схему таким образом, чтобы она состояла только из интегрирующих и усилительных звеньев. Тогда выбор переменных и запись уравнений состояний затруднений не вызовет.

Один из вариантов записи уравнений состояния по передаточной функции может быть осуществлен следующим образом.

Для известной передаточной функции системы

W(p) = Y(p) = в0 pm + в1pm−1 + ... + вm

U(p) a 0 pn + a1pn−1 + ... + a n

запишем дифференциальное уравнение в символической форме, обозначив p = d/dt :

(а0 рп + а1рп−1 + ... + ап )у(t) = (в0 рm + в1рm−1 + ... + вm )u(t)

Введем новую переменную х1 (t) такую, чтобы исходное уравнение

можно было записать в виде двух уравнений:

(а0 рп + а1рп−1 + ... + ап )х(t) = u(t),

(в0 рm + в1рm−1 + ... + вm )х(t) = у(t).

48

Первое из этих уравнений можно привести к системе уравнений первого порядка, принимая в качестве переменных состояния новую переменную Х1(t) и ее n-1 производные:

рх1 = х2 ,

рх2 = х3 ,

рхп = [u(t) - a x − - a x − - ... - a x ]× a −1.

1 n 1 2 n 2 n 1 0

Тогда второе уравнение при условии m < n вырождается в алгебраическое

y(t) = в0 x m+1 + в1x m + ...вm x1.

Структурная схема соответствующая этим уравнениям показана на рис.

2.5.

										в0
										вm−1
1	xn	1		xm+1	1	x2	1		x1	y
										вm
a0 p		p			p		p
(-)
	a		a	n−m	a	1		a	n
	1				n−

Рис. 2.5

Уравнения состояния и выхода примет соответственно вид:

		х1			0		1		...	0
		&
		&			0		0		...	0
		х2		...			...		... ...
	...
			=
		&			0		0		...	1
		хn−1		-		a n	-	a n−1	...	-	a1
		&
		хn				a 0		a 0			a 0

		х					0				х
				1									1
		х2					0				х2
	...					+ ... u, y = [вm ... в			0 0...0 ]	...				.
	х		n−1				0			х		n−1
		хn									хn
						1

С другими методами и формами записи уравнений состояния можно ознакомиться в [1,3].

49

Качество переходного процесса системы определяется значениями корней ее характеристического уравнения, или по-другому, собственными значениями матрицы А.

Модальное управление – это методы формирования цепей обратных связей, придающих замкнутой системе заранее выбранное расположение корней [1, 3, 12].

Обычно задаются желаемым характеристическим полиномом замкнутой системы. Если для системы третьего порядка принять

DЖ(Ρ) = p3 + 2ω 0 p2 + 2ω 02 p + ω 30 ,

то время регулирования составит t Ρ ≈ 7/ω 0 , при перерегулировании σ = 10 % .

Здесь параметр ω 0 выбирается из желаемого быстродействия.

Пусть исходная линейная система описывается уравнением состояния

Х& = АХ + ВU.

Для получения желаемого быстродействия и характеристического полинома системы DЖ(Р) введем линейную обратную связь по переменным состояния в соответствии с уравнением (считаем, что все координаты системы доступны измерению):

U = V − KX,

где V - вектор входных воздействий в синтезируемой системе, U - вектор входных воздействий в исходной системе; К – матрица коэффициента обратных связей.

Если U и V скаляры (например, система одномерная), то К является матрицей - строкой, элементы которой - коэффициенты обратных связей по всем составляющим вектора Х.

Исходная система и линейная обратная связь по состоянию образуют замкнутую систему (рис. 2.6).

Исходная система
V	X1
U
.	X2
X = Ax + BU
(-)	Xn

К

Модальный регулятор

50

Рис. 2.6

Подставив последнее выражение в уравнение состояния исходной системы получим уравнение состояния замкнутой системы

	&
	Х = (А − ВК)Х + ВV.
Динамические свойства полученной системы		определяются	матрицей
А1 = А –	ВК.Чтобы замкнутая система обладала желаемыми свойствами
необходимо	равенство определителя матрицы	(рЕ – А1)	желаемому
характеристическому полиному DЖ(Р), то есть:

de t (pE − A1 ) = DЖ(Р) ,

где Е – единичная матрица.

Приравнивая в последнем уравнении коэффициенты при р в одинаковой степени, можно вычислить значения элементов матрицы К.