1fedorenko_a_a_ivanchura_v_i_praktikum_po_teorii_avtomatiches

71

∞	C		i		di q(t)
eуст = ∑							,
	i!				dti
i=0
где
Ci =		∂i Фε(Ρ)						при р = 0.
					∂pi

Поскольку по заданию входные воздействия единичные, производные от них равны нулю. Следовательно, установившиеся ошибки в системе будут определятся только коэффициентами С для которых i = 0.

Установившаяся ошибка от управляющего воздействия

Сω 0 = Фε(0) = 0.

Установившаяся ошибка от возмущающего воздействия

СΜС 0 = Фfε(0) = K ΡC1× CΜ .

Пример 4. Исследовать систему на устойчивость методом Михайлова при следующих значениях параметров Тμ = 0.04 с, КРС = 10, Се = СМ = 1, RЯ =

0,2, J = 0.5, KУМ = 20.

Решение. Основой для анализа устойчивости этим методом служит характеристический полином замкнутой системы:

Д(Ρ) = P[(Tµp + 1)(TЯp + 1)JR Я + CeCΜTµ ]+ K ΡСCΜR Я (TЯp + 1) = 0

После преобразования и подстановки значений параметров имеем:

Д(Ρ) = JR ЯTµTЯp3 + JR Я (Tµ + TЯ )p2 + (JR Я + CеCΜTµ + K ΡСCΜR ЯTЯ )р +

+ K ΡСCΜR Я = 0.00004р3 + 0.005р2 + 0.19р + 2 =

= 0.00002р3 + 0.0025р2 + 0.095р + 1 = 0.

Заменим в характеристическом уравнении р на jω и выделим в полученной комплексной функции вещественную и мнимую части.

Д( jω) = X(ω) + jУ(ω) = (1 − 0.0025ω2 )+ jω(0.095 − 0.00002ω2 )= 0

								72
	Задаваясь значениями ω от нуля до +∞ вычисляем Х и Y													(см. табл. 4.1) и
строим годограф Михайлова (рис. 4.7).
										ω=31.6				Y
												1.74		ω=20
														ω=10
	ω =68.9													ω=0
		-10.9												1		Х
				ω→∞
				Υ→ - ∞				Рис.4.7
															Табл. 4.1.
ω				0	10		20		31.6		68.9		100			∞
Х				1	0.75		0		-1.5		-10.09		-24			- ∞
Y				0	0.93		1.74		2.37		0		-10.5			- ∞

Как видно из таблицы и графика годограф начинается на вещественной оси и последовательно проходит против часовой стрелки три квадранта. Порядок характеристического уравнения – три. Все условия критерия Михайлова выполняются, следовательно, система устойчива.

Пример 5. Составить уравнение состояния по структурной схеме системы автоматического управления.

Решение. Число переменных состояния должно быть равно порядку характеристического полинома системы. В данном случае n = 3. Уравнения состояния очень просто записать по детализированной структурной схеме, приняв в качестве переменных состояния реальные физические переменные на выходах интеграторов. Введем обозначения:

ω = Х1, i = Х2, Uу1 = Х3.

Тогда для каждого интегратора можно записать дифференциальное уравнение первого порядка:

73

&

=

CΜ

−

1

X1

J

X

2

J

MC ,

X2

= −

Ce

X1

−

1

X2

+

K УМ

(X3 + U У2 ),

&

R ЯTЯ

TЯ

R яTя

&

=

R Я

−

R

Я

X3

K УМTµ

i

X2 .

K УМTµ

Переменные i и UУ2

по структурной схеме легко выразить через Х1, Х2,

Х3 и входное воздействие ω :

i = K PC (ω - X1 )

U У2

=

R ЯTЯ

(i − X2 )=

K ΡC R ЯTЯ

(ω − X1 )−

R ЯTЯ

Х2 .

К

Т

K

УМ

Т

µ

K

Я

T

УМ

µ

µ

Подставив выражения для i и UУ2 в дифференциальные уравнения и приведя подобные получим:

&

CΜ

1

X1 =

0X1 +

J

X2

+ 0X3 + 0 × ω

-

MC,

J

&

Ce

K ΡC

1

1

КУМ

K РС

X

= -

T

+

T

X

-

+

X

+

R

T

Х

+

Т

ω

+ 0 × М

2

R

1

T T

2

3

µ

С,

Я Я

µ

Я

µ

Я Я

&

R ЯK ΡC

R Я

K PC R Я

X3 = -

K УМTµ

Х1 -

K УМTµ

Х2 + 0

× Х3

+

K УМTµ

ω

+ 0

× МС.

В эту систему уравнений введены нулевые элементы для удобства записи матриц А и В. В векторно – матричной форме она имеет вид:

&	(4.2)
X = AX + BU,

где

74

			0
		Ce			K ΡC
A = -				+
					Tµ
	R ЯTЯ
		-	R ЯK PC
			K УМTµ

CΜ

J

		1		1
	-		+
				T
	T
		Я		µ

-R Я

КУМТµ

						-	1
0			0
							J
КУМ				K ΡC
	; B =					0
				Tµ
R ЯTЯ									;
0			K РСR Я
						0
			КУМТµ

X1						ω
X = X	2	; U =				.
X3					MC
Так как выходная переменная системы одна Х1 = ω , то уравнение
наблюдения будет иметь вид:
y = [1 0 0]×		X1
		X	2	,
		X3

т. е. матрица С = [1 0 0].

Пример 6. Составить уравнения состояния по передаточной функции от управляющего воздействия замкнутой САУ.

Решения. Передаточная функция замкнутой системы по управлению (4.1) после раскрытия скобок и приведения подобных приобретает вид:

Ф(Р) =

ТЯр + 1

.

р

3

+

J(Tµ + TЯ )

p

2

J

+

CeTµ

JТµТЯ

+

+ TЯ p + 1

КРС × СМ

КРС × СМ

× CM

K РC

K PC R Я

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение в операторной форме

JТ

Т

Я

3

J(T + T )

2

J

C T

µ

µ Я

e µ

р

+

p

+

+

+ TЯ p + 1 ω(Р) = (ТЯр + 1)ω(Ρ)

КРС × СМ

КРС × СМ

× CM

K PC R Я

K РC

С помощью вспомогательной переменной Х1(р) запишем это уравнение в виде двух уравнений

75

JТ

Т

Я

3

J(T + T )

2

J

C T

µ

µ Я

e µ

р

+

p

+

+

+ TЯ p + 1 Х1 (р) = ω(Ρ) , (4.3)

КРС × СМ

КРС × СМ

K PC R Я

K РС × CM

(ТЯр + 1)Х1(р) = ω(р).	(4.4)
Выражения (4.3), (4.4) можно привести к системе уравнений первого

порядка, принимая в качестве переменных состояния переменную Х1 и ее производные:

РХ1

= Х2

РХ2

= Х3

K PCCΜ

1

CeCΜ

K PCCΜ

(Tµ + TЯ )

K PCCΜ

PX

= -

X

-

+

+

X

-

X

+

ω

.

JT T

JR

T

JT

T T

JT T

3

1

T T

2

3

µ Я

µ Я

Я Я

µ

µ Я

µ Я

после чего, обозначив ω = Υ можно записать уравнение наблюдения:

ω= ТЯ × Х2 + Х1.

Ввекторно – матричной форме уравнение состояния и наблюдения имеет

вид:

	&				0
	Х
	& 1				0
	Х2		=
	&			K	PC	C	Μ
	Х3		-
				JTµTЯ

1

0

´

0

1

1

С

С

Μ

K

PC

C

Μ

(Тµ + Т

Я )

-

+

е

+

-

Т Т

JR

T

JT

Т Т

µ Я

Я µ

Μ

µ Я

&

0

Х1

&

+

0

U,

´ Х2

&

K PCCΜ

Х3

JT T

µ

Я

U = [1, Т		, 0]	Х1
	Я		Х		2	.
				Х3

76

Пример 7. Исследовать устойчивость системы по уравнениям состояния при значениях параметров из примера 4.

Решение. Используем уравнения состояния, полученные в примере 6. Устойчивость системы определяется матрицей параметров А. При этом можно использовать следующий путь:

1) по матрице А вычисляют характеристический полином системы

D(P ) = dеt(pE − A), где Е – единичная матрица;

2)далее используют какой – то из алгебраических критериев, либо критерий Михайлова.

В данном случае матрица рЕ - А имеет вид:

р

1

0

0

р

1

.

K

PC

C

Μ

1

С

С

Μ

K

PC

C

Μ

(Тµ + Т

Я )

-

-

+

е

+

р

+

JT T

Т

Т

JR

T

JT

Т

Т

µ

Я

µ

Я

µ Я

Я µ

Μ

Найдем характеристический полином, раскрывая определитель,

например, по элементам первой строки:

p

1

1

CeCΜ

K PCCΜ

(Тµ + ТЯ )

+

D(P ) = p -

+

+

р +

T T

JR

T

JT

Т

µ

Т

Я

µ Я

Я Я

µ

0

1

0

1

+ 1

K PCCΜ

(Тµ

+ Т

Я )

+ 0 K PCCΜ

1

CeCΜ

-

р +

-

+

JT Т

Т Т

JT

JR T

T T

µ Я

µ Я

µ

µ Я

Я Я

+ K PCCΜ =

JT

µ

	Тµ + ТЯ					1
= р3 +					р2 +		+
	Т		Т
		µ		Я	T T
						µ Я

Введем обозначения:

Тµ + ТЯ

1

а

=1,

а

=

, а

=

Т

Т

0

1

µ

Я

2

T T

µ Я

CeCΜ + JR ЯTЯ

+ CeCΜ JR ЯTЯ

K	PC	C	Μ			K	PC	C	Μ
					× р +					.
	JTµ					JTµТЯ

						КРССΜ
	+	K PCCΜ			=
			, а	3			.
		JTµ				JТµТЯ

77

Анализ устойчивости выполним с помощью критерия Гурвица составив таблицу

а1	а3	0
	а2
а0		0	.
	а1	а3
0
Согласно этого критерия для устойчивости системы необходимо и
достаточно что бы выполнялись условия			а0 f 0, (а1а2 − а0а3 ) f 0. В данном
случае а0 = 1.

Подставив значения параметров системы в выражения для а после расчетов получим (а1а2 − а0а3 ) = 543750 . То есть условия выполняются.

Система устойчива.

Пример 8. Синтезировать модальный регулятор для рассматриваемой системы. Синтез произвести для управляющего воздействия, т. е. считаем

МС = 0.

Решение. Синтез целесообразно осуществить по уравнениям (4.2) полученным на основе структурной схемы САУ, так как здесь переменные состояния соответствуют реальным физическим переменным системы. В качестве желаемого примем характеристический полином ( ), при ω0 = 50с-1.

Параметры системы взять из примера 4.

Входная матрица системы с учетом изложенного имеет вид:

0

0

КРС

в21

В =

Тµ

=

.

КРСR Я

в31

К

Т

УМ

µ

Собственная матрица параметров системы равна

0

CΜ

0

J

0

a12

0

Сe

КРС

1

1

КУМ

= a 21

.

А = −

+

−

+

a 22

a 23

T

Т

R

T

R

Т

µ

T

µ

Я Я

Я

Я Я

a 32

0

−

R ЯK PC

−

R Я

a 31

0

K УМTµ

КУМ

Тµ

78

Матрица искомых коэффициентов обратных связей по переменным состояния имеет вид:

К = [К1 К2 К3 ].

Вычислим произведение матриц В и К:

	0								0				0				0
В× К = в		21		[К	К	К	3	] = в	21	К	1	в	21	К	2	в	21	К	.
				1	2														3
												в31К2				в31К
в31								в31К1											3

Найдем матрицу А1:

			0	а		0
А1	= А - В× К =		(а21 - в21К1 ) (а22 - в21К2 ) (а			23 - в21К			3 )	.
			(а31 - в31К1 ) (а32 - в21К2 )			(- в31К3 )
Запишем матрицу рЕ-А1
		р		- а12	0
рЕ - А1 =		- а21 + в21К1		р - а22 + в21К2	- а23 + в21К3			.
		- а31 + в31К1		- а32 + в31К2	р + в31К3

Вычислим ее определитель:

dеt(pE - A) = р[(p - a 22 + в21К2 )(р + в31К3 ) - (- а32 + в31К2 )(- а23 + в21К3 )] -

- а12 [(- а21 + в21К1 )(р + в31К3 ) - (- а31 + в31К1 )(- а23 + в21К3 )] =

= р3 + (в21К2 + в31К3 - а22 )р2 + (в21а32 К3 - в31а22 К3 + в31а23К2 -

- а12в21К1 + а12а21 - а32а23 )р + (а12а21в31К3 - а12а31в21К3 -

- а12а23в31К1 + а12а31а23 ) = 0.

Для обеспечения условия

79

dеt(рE − A) = DЖ(Р) = р3 + 2ω0 р2 + 2ω02 р + ω3

необходимо, чтобы коэффициенты при р одинаковых степеней были равны. В результате имеем три алгебраических уравнения:

																			в21К2 + в31К3 − а22 = 2ω0																													(4.5)
в		а	32	К		3	− в а			22		К		3	+ в				а		23	К		2		− а			12		в		21		К	1	+ а			12	а	21	− а	32	а	23	= 2ω2	(4.6)
	21								31									31																													0
а	12	а	в		31		К	3	− а	12	а			в		21	К		3	− а			12		а		23	в		31		К		1	+ а			12	а		а	23	= ω3					(4.7)
			21										31																											31

Выразим а и в через параметры системы. Подставим их значения и значение ω0 в уравнения 4.5, 4.6, 4.7. Решая эту систему уравнений, получим:

К1 = 0.3875, К2 = 0.275, К3 = -30.

Структурная схема САУ с учетом полученных коэффициентов имеет вид

(рис.4.8).

ω

*

i*

Uу2

−

i

MC

ω

TЯ RЯ

U у

E 1

1

KУМ

( ) 1

CM

(−)

(−)

KPC

KУМ Tμ

R Я

(−) TЯ p

Jp

Uу1

RЯ

C е

KУМTμ p

R Я

(+)

K3

X3

(+)

(+)

X1

K2

X2

K1

Рис. 4.8.

Пример 9. Произвести анализ динамических процессов в системе 4.1 при включении после узла сравнения сигнала задания ω и выходной переменной ω, нелинейного звена с характеристической изображенной на рис. 4.9. Параметры системы взять из примера 4. Параметры звена: а = 0.01, В = 10. Использовать метод гармонического баланса.

Решение. Структурная схема системы может быть представлена рис. 4.10. Здесь звено НЭ характеризует нелинейный элемент, звено WЛ(Р) – линейную часть системы. Передаточная функция линейной части, на основании примера 2, равна:

WΛ(Ρ) =	K PCCM R Я		(TЯp + 1)		(4.8)
				.
	P[(Tµp + 1)(TЯp
		+ 1)JR Я + CеCΜTµ ]

80

Х

-а

а ХВ

-в

Рис. 4.9

После преобразований выражение (4.8) можно записать

			WЛ(P ) =		K(TЯp + 1)
				р(Т12 р2 + Т2 р + 1),				(4.9)
	где	К =	R ЯCΜK PC		, Т12 =	JR ЯTµTЯ	,	Т2 =	JR Я (Tµ + TЯ )	,
			JR Я + CeCM Tµ			JR Я + CeCM Tµ			JR Я + CeCΜTµ
	ТЯ –	обобщенные коэффициент усиления и постоянные времени системы.
	Подставив значения параметров системы, получим:
	К=18,181818(В×с)-1, Т12 = 0.0003636×с2, Т2 = 0.0454545 с,							ТЯ = 0.04 с.

ω*	Xвх	Х	ω
		НЭ	WЛ(Р)
	(-)

Рис.4.10

Поскольку нелинейность неоднозначна, ее амплитудно– фазовую характеристику, для первой гармоники, нужно искать в виде:

′	(4.10)
WΗ (A) = q(A) + jq (A).

Выражения для коэффициентов q(A), q′(A) можно получить

самостоятельно по (2.6), (2.7), но проще взять из литературных источников. Так для заданной нелинейной зависимости, например, из [13], имеем: