1fedorenko_a_a_ivanchura_v_i_praktikum_po_teorii_avtomatiches

81

q(A) =	4B	a 2			′	4Ba
		1 −					.
	πA				, q (A) = −	πA2
		A

′
Подставив q(A), q (A) в (4.10) окончательно получим:
WΗ (A) =	4B			a 2			4Ba
		1 −				+ j −		.	(4.11)
	πA
			A				πA2
Дальнейший анализ выполним						используя			амплитудно– фазовую

частотную характеристику линейной части и обратную амплитудно– фазовую характеристику линейного звена, взятую с обратным знаком.

Частотная передаточная функция линейной части, с учетом (4.9) имеет

вид:		K(1 + jTω)						K(1 + jTω)
WЛ (jω) =						=				.	(4.12)
	jω(1	+ T2 j2	ω2	+ T jω)			− T	ω2 + j(1 − T2
									ω2 )ω
		1		2			2	1

Домножив числитель и знаменатель (4.12) на комплексную функцию сопряженную знаменателю и проведя несложные преобразования получим вещественную РЛ (ω) и мнимую QЛ (ω) частотные характеристики линейной

части:

	РЛ (ω) =	К(ТЯ − Т1 − ТЯТ12ω2 )				;		(4.13)
		Т22ω2 + (1 − Т12ω2 )2
	QЛ (ω) = −		K(1 − T2	ω2 + T T ω2 )
			1	2 Я			.	(4.14)
			Т22ω3 +	(1 + Т12ω2 )2
						ω

Подставив значения обобщенных параметров К, Т12 , Т2, ТЯ и задаваясь значениями ω от 0 до ∞, вычисляем РЛ (ω) и QЛ (ω) (см. табл. 4.2).

						Таблица 4.2
ω	0	0.316	1	3.16	10		31.6
РЛ(ω)	-0.1	-0.1	-0.1	-0.1	-0.104		-0.152
QЛ(ω)	-∞	-57.54	-18.18	-5.63	-1.73		-0.59
ω	100	295	316	1000	3160		∞
РЛ(ω)	-0.102	-0.023	-0.0183	-0.002	-0.0002		0
QЛ(ω)	-0.105	-0.0078	-0.0058	-0.0002	-0.0000063		0

82

Согласно (4.10), запишем выражение обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком,

	− ZΗ (A) = −	1		=	− 1	.
		WΗ (A)			q(A) + jq (A)
					′

	Выделим вещественную и мнимую части, домножив на
	сопряженный знаменателю:		− q(A)				′
	− ZΗ (A) = PΗ (A) + jQΗ (A) =				+ j		q (A)	.
		q2	(A) + q′2 (A)			q2	(A) + q′2 (A)

комплекс

(4.15)

Подставив в (4.15) выражения для q(A) и q′(A) и преобразовав получим:

				P (A)	= −		π				,
										A2 − a 2
				Η		4в
				QΗ (A) = −			πa		.
							4в
	Для заданных численных значений а и в составим таблицу 4.3 значений
PΗ (A) и QΗ (A) при изменении А от а до ∞.
												Таблица 4.3
А		0.01	0.015	0.02						0.0316		0.1
РН(А)		0	0.000878	-0.00136						-0.00745		-0.00785
QН(А)		-0.00078	-0.000785	-0.000785						-0.000785		-0.000785
А		1	10	100						1000		∞
РН(А)		-0.0785	-0.785	-7.85						-78.5		- ∞
QН(А)		-0.000785	-0.000785	-0.000785						-0.000785		- 0.000785

Для оценки возможности автоколебаний в системе и их устойчивости строим графики амплитудно – фазовой частотной характеристики линейной части системы и обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком, в координатах Р, Q (cм. рис. 4.14).

Как видно из рисунка линия – Z Н(А) и кривая W(jω) пересекаются только в одной точке М. Следовательно, в системе возможны автоколебания только с одной частотой ωМ и амплитудой АМ. Исследуем колебания на устойчивость.

Даем приращение амплитуде колебаний АМ + А. Это соответствует точке М1 на линии –Z Н(А). Система попадает в область устойчивости (см. рис. 2.9) и колебания со временем будут затухать. При приращении амплитуды в

83

другую сторону АМ + DА попадаем в точку М1. Это область неустойчивости и амплитуда колебаний со временем возрастет. Таким образом точка М характеризует режим устойчивых автоколебаний в системе с частотой wМ и амплитудой АМ . Следует отметить, что поскольку нелинейный элемент имеет два устойчивых состояния + 10 и –10, а линейная часть содержит интегрирующий элемент (см. 4.9). то даже при начальном отклонении выходной переменной меньше ½a½, со временем эта переменная возрастет до значения А³ ½a½ и система войдет в неустойчивый колебательный режим с постепенным переходом к установившимся автоколебаниям соответствующим точке М.

Q

ω → ∞

P

A → ∞	M 2	M 1
− Z н ( A)		M

Wл ( jω )	Wск ( jω )
ω → 0	ω → 0

Рис. 4.11

Таким образом рассматриваемая система не имеет области абсолютной устойчивости, неустойчива в малом и устойчива при больших начальных отклонениях.

Для численной оценки параметров автоколебаний wМ и АМ воспользуемся равенством координат линии –Z Н(А) и кривой W(jωj в точке М,

т. е. для точки М должны выполняться условия:

PΗ (A) = PЛ (ω) ,

QΗ (A) = QЛ (ω).

или в развернутом виде:

84

π

К(ТЯ − Т2 − ТЯТ12ω2 )

−

А

2

− а

2

=

,

(4.16)

4В

Т22ω2 + (1 − Т12

ω2 )2

−

πа

=

К(1 − Т12ω2 + Т2ТЯ

ω2 )

.

(4.17)

4В

Т22ω2 + (1 − Т12ω2 )2

Подставив в уравнения (4.16), (4.17) численные значения обобщенных параметров К, ТЯ, Т2, Т12 можно вычислить значения ωМ и АМ.

Решим задачу в более широком плане. Исследуем зависимости частоты и амплитуды автоколебаний в системе от величины коэффициента усиления К

линейной части, при фиксированных заданных ТЯ,Т2, Т12 . В этом случае имеем

систему из двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными А, ω, К. Задаваясь значением одного из них, можно рассчитать два оставшихся. В данном случае удобно задаваться значениями частоты ω, по второму уравнению определять соответствующее значение К, а, затем, по первому уравнению значение амплитуды А. Результаты расчетов сведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

ωС−1	0	1	10	100	200	300	400
А	0.01	0.01	0.0108	0.032	0.085	0.19	0.34
К	0	0.000785	0.00785	0.074	0.57	1.93	4.56
−1	500	600	634	700	800	900	1000
ωС
А	0.52	0.76	0.848	1.035	1.352	1.71	2.11
К	8.92	15.43	18.18	24.5	36.57	52	71.42

На рис. 4.12 представлены соответствующие графики A = f1 (K), ω = f2 (K). Как видно при заданном К = 18.18 имеем АМ = 0.848, ωМ = 634 с-1. С

уменьшением К значения А и ω уменьшаются, причем при К → 0, А → 0.01, ω

→ 0.

С увеличением К как амплитуда, так и частота автоколебаний возрастает.

А	А	ω
634
0.848
0		К
	18.18

85

Рис. 4.12

Для исключения автоколебаний в системе необходимо, чтобы амплитудно – фазовая частотная характеристика линейной части не охватывала ни одной точки линии – ZН(А), как например кривая WCK(jω) на рис. 4.11. Наиболее просто этого можно достичь включив в прямой тракт системы последовательно с линейной частью форсирующее звено с частотной передаточной функцией

WΚ (jω) = PΚ (ω) + jQΚ (ω) =1 + jTΚω.

(4.18)

В этом случае частотная передаточная функция скорректированной линейной части системы приобретет вид:

WCK (jω) = WЛ (jω)× WΚ (jω) = [PЛ (ω) + jQЛ (ω)]× [PΚ (ω) + jQΚ (ω)].

Выделим вещественную и мнимую частотные характеристики скорректированной системы:

PCK (ω) = [PЛ (ω)× PΚ (ω) - QЛ (ω)× QΚ (ω)]	(4.19)
QCK (ω) = PЛ (ω)× QΚ (ω) + QЛ (ω)× PΚ (ω)	(4.20)

Подставив в (4.19), (4.20) развернутые выражения P и Q из (4.18) и (4.13), (4.14) окончательно имеем:

PCK (ω) =	K[(T − T + T ) + (T T T − T T2						− T T2 )ω2		]
	Я	2	Κ	Κ Я	2	Κ 1	Я	1		,
			T2ω2	+ (1 − T2ω2 )2
			2		1
QCK (ω) =	− K[1 + (− T T + T T − T2					+ T T )ω2		+ T2T ω4			]
		Я	Κ	2 Κ	1	Я 2		1 Κ			.
			ω[T2	ω2 + (1 − T2ω2 )2			]
			1			1
Знаменатель РСК (ω) больше 0			для любых значений ω . Поэтому для

обеспечения условий отсутствия в системе автоколебаний (см. рис.4.10 кривая WCK (ω)) достаточно, чтобы числитель РСК (ω) так же всегда был больше нуля.

Это гарантируется условиями

86

ТЯ − Т2 + ТΚ f 0,

ТΚТЯТ2 − ТКТ12 − ТЯТ12 f 0.

Разрешив неравенства относительно неизвестного ТК и подставив

численные значения ТЯ , Т2 , Т12 получим:
ТК f Т2 − ТЯ , ТК f 0.0054			с,	(4.21)
	ТЯТ12
ТК f		, ТК f 0.01	с.	(4.22)
	ТЯТ2 − Т12

Минимально допустимое значение постоянной времени ТК корректирующего звена необходимо выбирать из максимального значения полученного по условиям (4.21), (4.22) с некоторым запасом, учитывающим разброс параметров реальной системы.

Принимаем ТК = 0.05 с.

Следует отметить, что синтезированное корректирующее устройство не исключает возможность появления в системе низкочастотных периодических режимов, когда гипотеза фильтра не выполняется. Для исследования этих процессов необходимо пользоваться точными методами анализа, например, методом фазовых траекторий или методом припасовывания.

87

ЛИТЕРАТУРА

1.Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования

иуправления: Учеб. Пособие для ВТУЗов 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит.. 1989.

2.Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия,

1980.

3.Теория автоматического управления. / Под ред. А.. А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986.

4.Основы автоматического управления. / Под В. С. Пугачева. М.: Наука.

1974.

5. Иващенко Н. И. Автоматическое регулирование. М.: Машиностроение,

1978.

6.Топчеев Ю. И., Цыплаков А. П. Задачник по теории автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1977.

7.Сборник задач по теории автоматического управления. / Под ред. В. А. Бессекерского, М.: Наука, 1978.

8.Задачник по теории автоматического управления. / Под ред. А. С. Шаталова, М.: Энергия, 1979.

9.Андрющенко В. А. Теория систем автоматического управления: Учеб. пособие. Л., Изд - во Ленингр. ун. 1990.

10.Яшугин Е. А. Теория линейных непрерывных систем автоматического управления в вопросах и ответах: Справ. пособие, - Минск: Высш. шк. 1986.

11.Изаков Ф. Я., Ройтман А. Х., Задачник по теории автоматического управления. – М.: Агропромиздат, 1991.

12.Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976.

13.Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Кн. 3. Часть I. Теория нестационарных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирования. / Под ред. В. В. Солодовникова, М.: Машиностроение, 1969.

14.Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z – преобразования. М.: Наука, 1971.

15.Терехов В. М. Элементы автоматизированного электропривода. М.: Энергоатмиздат, 1987.

16.И.М. Макаров, Б.М. Менский. Линейные автоматические системы. Л. «Машиностроение», 1982г.

17.Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под общей ред. проф. Е.А. Санковского. Мн. «Вышейшая школа», 1973г.

	88
	СОДЕРЖАНИЕ
	Общие сведения	3
1.	Программа курса	5
1.1.	Теоретическая часть	5
1.2.	Практические занятия	13
1.3.	Лабораторный практикум	14
1.4.	Курсовая работа	14
2	Контрольные работы	14
2.1	Общие указания	15
2.2	Контрольная работа №1	15
2.3	Контрольная работа №2	21
2.4.	Контрольная работа №3	34
2.5.	Исходные данные для контрольных работ №№4, 5.	36
2.6.	Контрольная работа №4	42
2.7.	Контрольная работа №5	44
3	Курсовая работа «Расчет системы автоматического	51
	управления электроприводом постоянного тока»
3.1	Задание на проектирование	51
3.2	Синтез корректирующего устройства	56
3.3	Исследование устойчивости и качества системы	59
3.4	Исследование точности системы	61
3.5	Оформление работы	62
4.	Примеры расчетов	63
	Литература	87