2.5.Плоское движение твердого тела.

Плоским называют такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных заданной неподвижной. Проведем связанную с телом нормаль АА к заданной неподвижной плоскости и, как показа­но на рис. 13, двигаясь вместе с телом, через промежуток времени dt нормаль занимает положение A₁А₁. Очевидно, что все точки тела, лежащие на этой нормали, движутся одинаково, в частности, так же, как и точка O пересечения нормали с сечением тела плоскостью, параллельной заданной неподвижной. То же можно сказать о точках тела, лежащих на любой другой нормали. Поэтому для изучения плоского движения тела достаточно рассмотреть движение его сечения плоскостью, параллельной заданной, т.е. решить задачу кинематики в плоской системе координат.

рис 13

Для определения положения сечения в пространстве в любой момент времени необходимо прежде всего задать положение произволь­ной точки А (полюса) этого сечения векторным или координатным способом. Кроме того, необходимо провести в сечении произвольную прямую АВ и указать угол a (альфа), который она образует с одной из осей координат (рис. 14). Движение сечения считается

заданным, если для любого момента времени известны зависимости:

и ли

рис 15

Соотношения (28), (29) задают кинематический закон плоского движения тела в векторном и координатном виде соответственно.

Осуществим плоское перемещение тела (его сечения) из положения 1 в положение 2 (рис. 15). В сечении выберем произвольную прямую AB. Выберем также в качестве полюса точку А. Если переместить сечение поступательно вместе с полюсом А, то полюс займет положение A₁, а прямая АB - положение A₁B₂. Для приведения сечения в конечное положение 2 его необходимо повернуть вокруг полюса на угол ₁. Таким образом, плоское перемещение тела можно рассматривать как одновременно происходящие поступательное перемещение вместе с полюсом и вращение вокруг этого полюса.

Если выбрать в качестве полюса точку B то после посту­пательного перемещения вместе с ним прямая AB займет положение A₂B₁. Для совмещения сечения с его конечным положением 2 его надо повернуть на угол ₂. Следовательно, и в этом случае плоское перемещение можно представить как одновременно происходящие поступательное перемещение вместе с полюсом и вращение вокруг него. Очевидно, что и направление, и угол поворота в обоих случаях совладают. Поэтому кинематические характеристики поступательной части движения зависят от выбора полюса, а вращательной - не зависят.

2.6. Скорость отдельных точек тела при плоском движении.

Выберем в качестве полюса т. А (рис. 16) и выделим произвольную точку B сечения тела. Положение их в пространстве определим векторным способом (r_a и r_b соответственно). Кроме того, положение т. В определим, указав радиус-вектор r.

рис 16

По определений скорость т. В:

Т аким образом, скорость любой точки тела при плоском движении определяется суммой двух составляющих. Выясним их смысл.

Если в процессе движения тела (движение поступательное) то:

Следовательно, эта составляющая определяет скорость поступательной части движения вместе с

полюсом. Если же в процессе дви­жения (вращение вокруг т. А), скорость точки В равна:

очевидно, что эта составляющая представляет собой линейную скорость вращательной части движения вокруг полюса.

Таким образом, в любой момент времени скорость произвольной точки тела, совершающего плоское движение, определяется векторной суммой скоростей поступательного движения вместе с полюсом и вра­щательного движения вокруг полюса.

Может оказаться так, что для какой-либо точки тела сумма окажется равной нулю (точка в данный момент времени покоится). Такую точку называют мгновенным центром вращения, и плоское дви­жение тела можно рассматривать в данный момент времени как вращение вокруг мгновенного центра вращения. Примером мгновенного центра может служить точка касания цилиндра с плоскостью, по ко­торой он катится без скольжения.