24.Циркуляция и ротор векторного поля.

Пусть векторное поле образовано вектором

.

Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую и выберем на ней определенное направление. Обозначим через вектор, имеющий направление касательной к линии и по модулю равный дифференциалу длины дуги, т.е.

,а .

Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора

на вектор , касательной к контуру, т.е. .

Циркуляцию вектора можно находить по другой формуле

.

Циркуляция , имеет простой физический смысл: если кривая расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль .Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: положительный, если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный – в противном случае.

Ротором (или вихрем) векторного поля

называется вектор, который обозначается и определяется формулой

. (4.13)

Формулу (4.13) можно записать с помощью символического определителя, который удобный для запоминания:

Отметим некоторые свойства ротора:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. ротор суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

25.Поток и дивергенция векторного поля.

Пусть векторное поле образовано вектором

.

Возьмем в этом поле некоторую поверхность и выберем на ней определенную сторону. Пусть  единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности .

Рассмотрим интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали

. Если  поле скоростей текущей жидкости, то интеграл () выражает поток жидкости через поверхность . Независимо от физического смысла поля данный интеграл называют потоком векторного поля через поверхность и обозначают буквой П.

Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т.е.

.

Таким образом, вычисление потока вектора сводится к вычислению интеграла по поверхности. Из самого определения следует, что поток вектора П  величина скалярная. Если изменить направление нормали на противоположный, т.е. переменить сторону поверхности , то поток П изменит знак.

Так как , то

,где  проекция вектора на направление нормали ,  дифференциал (элемент) площадки поверхности.

Поскольку , , то поток (4.5) вектора можно записать в виде

,

или в виде

.

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем . Тогда поток вектора записывается в виде . В этом случае за направление вектора обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности .

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке , обозначаемой символом , называется величина, равная сумме частных производных, вычисленных в точке т.е.

.

Отметим некоторые свойства дивергенции:

1. Если  постоянный вектор, то .

2. , где .

3. , т.е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если  скалярная функция, а  вектор, то

.

Сравнивая формулы (4.8) и (4.9) видим, что формулу Остроградского – Гаусса можно записать иначе:

.Формула означает:

поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному данной поверхностью.

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.