22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
Пусть задано
скалярное поле, т.е. задана функция
,
и точка
.
Будем предполагать, что функция
непрерывна и имеет непрерывные производные
по своим аргументам в области
.
Производной от
функции
в точке
по направлению вектора
называется предел отношения
при
,
т.е.
.
Если функция
дифференцируемая, то производная от
функции в точке
по направлению вектора
находится по следующей формуле:
,
где
направляющие косинусы вектора
.
В случае функции
двух переменных
,
т.е. когда поле плоское, формула (4.1)
примет следующий вид:
,
где
.Подобно
тому, как частные производные
характеризуют скорость изменения
функции
в направлении осей координат, так и
производная по направлению
будет являться скоростью
изменения функции
в
точке
по направлению вектора
.
Если
,
то функция
возрастает
в направлении
,
если
,
то функция
убывает в
направлении
.
Градиент
В каждой точке
области
,
в которой задана скалярная функция
,
определим вектор, проекциями которого
на оси координат являются значения
частных производных
в выбранной точке
.
Назовем этот вектор градиентом
функции
и обозначим его символами
или
(набла-оператор, записываемый в виде
«вектора» с компонентами
).
Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.
.
(4.3)
Подчеркнем, что
проекции градиента зависят от выбора
точки
и изменяются с изменением координат
этой точки. Таким образом, каждой точке
скалярного поля, определяемого функцией
,
соответствует определенный вектор –
градиент этой функции. Отметим, что
градиент линейной функции
есть постоянный вектор
.
Используя определение градиента, формуле для производной по направлению можно придать следующий вид:
,которая
читается так: производная
функции по данному направлению равна
скалярному произведению градиента
функции на единичный вектор этого
направления
(
).Учитывая
то, что скалярное произведение равно
модулю одного вектора умноженному на
проекцию другого вектора на направление
первого, то можно еще сказать, что:
производная функции по данному направлению
равна проекции градиента функции на
направление дифференцирования, т.е.
,
где угол между и направлением .
23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
Если каждой точке
области
соответствует некоторый вектор
,
то говорят, что задано векторное
поле или
векторная
функция точки.Вектор
,
определяющий векторное поле, можно
рассматривать как векторную функцию
трех скалярных аргументов
,
т.е.
.Вектор
можно представить, разложив его по ортам
координатных осей, в виде:
,
где
проекции вектора
на оси координат, а также скалярные
функции, которые непрерывны со своими
частными производными.Простейшими
геометрическими характеристиками
векторного поля являются векторные
линии.
Векторной (силовой) линией поля называется линия, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора .Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинается с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля
описываются системой дифференциальных уравнений
.