28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

,где  члены ряда (действительные или комплексные числа), число  общий член ряда.Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера можно записать соответствующий член ряда: .Если формула дана, то можно сразу написать любой член ряда. Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задается несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда.

Сумма конечного числа первых членов ряда называется -й частичной суммой ряда: .

Рассмотрим частичные суммы

,

Если существует конечный предел , то этот предел называют суммой ряда (5.1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует или , то ряд (5.1) расходится и суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов (без доказательства).

1)Если ряд сходится и его сумма равна , то ряд

, где  произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд расходится и , то и ряд (5.3) расходится.

2)Если ряды

и

сходятся и их суммы соответственно равны и , то ряды

и

также сходятся и их суммы соответственно равны и .

3)Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд, который бы изначально, сходится или расходится одновременно.

Рассмотрим сходящийся ряд (5.1) .

Разность между суммой ряда и его -й частичной суммой называется -м остатком ряда. Остаток ряда есть в свою очередь сумма бесконечного ряда. Обозначим остаток ряда . Тогда имеем

.

Если ряд сходится, то .

29.Необходимый признак сходимости ряда.

Нахождение -й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.

Теорема 5.1. (необходимый признак сходимости ряда) Если ряд (5.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е .

Доказательство. Пусть ряд (5.1) сходится и . Тогда (при и ). Учитывая, что при , получаем:

. Теорема 5.2. (достаточный признак расходимости ряда) Если или этот предел не существует, то ряд расходится.

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков.

Теорема 5.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

Например, гармонический ряд

(5.7)

общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.