16.Приложения кри(1-2)

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина кривой , плоской или пространственной линии, вычисляется по следующей формуле .

Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельная оси (см. рисунок), то площадь поверхности, заданной функцией , находится по формуле:

Масса кривой

Если  плотность материальной кривой (провод, цепь, трос, …), то ее масса вычисляется по формуле:

.

Координаты центра масс

Координаты центра масс материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:

; ; .

Моменты инерции

Моменты инерции относительно начала координат , осей координат и , и координатных плоскостей и материальной дуги , имеющей плотность , определяются по формулам:

;

, ,

, , .

17.Поверхностный интеграл 1-го рода

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

(Сам рисунок делай-как на лекции строили область Oxyz и разбивали)Разобьем поверхность на элементарных площадок , площади которых обозначим через , а диаметры – через . На каждой площадке выберем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции по поверхности :

Пусть в точках некоторой гладкой поверхности пространства определена непрерывная функция .

.Если при и интегральная сумма имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции по поверхности и обозначается .

Таким образом, по определению,

.

Основные свойства поверхностного интеграла I рода

1. , где .

2. .

3. Если поверхность разбить на части и такие, что , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то

.

4. Если на поверхности функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

5.Если , то , где площадь поверхности

6. (Теорема о среднем) Если функция непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует такая точка , что

.

жидкости, протекающей через поверхность , то произведение равно количеству жидкости, протекающей через площадку за единицу времени в направлении вектора .

Выражение представляет собой общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении, если под вектором подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл второго рода называется потоком векторного поля через поверхность .

Отметим, что если  замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней  .

Свойства ПОВИ-2

1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак поверхностного интеграла.

3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям и (аддитивное свойство), если и пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

5. Если , и  цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям , то

.