Прилож Оп исчисл

1)Обыкн деф Ур: x''-2x'+2x=2t-2, x(0)=x'(0)=0 нулев НУ

А)Частн реш: x(t)÷>X(p), x'(t)÷>pX(p)-x(0)=pX(p)

x''(t)÷> p²X(p)-px(0). Подст деф ур:

p²X(p)-2 pX(p)+ 2X(p)=2/p²-2/p

t÷>1/p², 1÷>1/p. X(p)(p²-2p+2)=2*(1-p)/p²

X(p)= 2*(1-p)/p² /(p²-2p+2)= A/p+B/p²+(Cp+D)/(p²-2p+2)=

=Ap(p²-2p+2)+B(=1)(p²-2p+2)+ Cp³+Dp²/( p² (p²-2p+2)) =

{p³ : A+C=0 -> C=0, p²: -2A+1+D=0 -> D=-1, p: 2A-2=-2 Св: 2=2.} = 1/p² – 1/( p²-2p+2) = X(p)<÷x(t)=t-e^tSin t ,

x'(t)=1-e^tSint-e^tCost, x''(t)=-e(Sint+Cost)-e^t(Cost-Sint)=-2e^tCost-2+2e^t(Sint-Cost)+2t

В) Общее реш: x(t)÷>X(p), x'(t)÷>pX(p)-a,

x''(t)÷> p²X(p)-ap-b

X(p) (p²-2p+2)+2a-2pa-2b=2(1-p)/ p² <÷ t-e^tSint+2ae^tСost+2be^tSint= t+e^t((2b-1)Sint+2aCost)

2)Сист деф ур: {x'+y=2e^t, y'+x = 2e^t, x(0)=y(0)=1}

x(t)÷>F(p), x'(t)÷>pF(p)-1, y(t)÷>G(p), y'(t)÷>pG(p)-1

2e^t ÷> 2/p-1. { pF-1+G=2/p-1, pG-1+F=2/p-1…..F=G

F=1/p-1<÷ x(t)=e^t, G=1/p-1<÷ y(t)=e^t

3) Интегральн ур: x(t)- ∫₀^t (t-u)x(u)dt=Sint =x(t)-tx(t)

{x(t)÷>F(p), t÷>1/p², Sint÷>1/(p²+1), tx(t) ÷> 1/p * F}

÷> F-F/p²=1/(p²+1), F(p²-1/ p²)=1/( p²+1),

F=p²/( p²+1)( p²-1) = a/(a+1)(a-1)=0.5/a+1 + 0.5/a-1=

=1/2(1/( p²+1) + 1/( p²-1)). F<÷ x(t) = ½(Sint+Sht)

Эл-ты комбинаторики:

Перестановка из n эл. Pn=n! 1) 1 место-1 эл 2)эл разные 3) эл не повтор 4) Важен порядок эл.

(пр: 5*4*3*2*1=5!)

Размещен из n эл по k эл(k<=n) A^k_n=n!/(n-k)!

Соблюд 1)2)3)4). Если 3) наруш => n^k

Сочетан из n эл по m эл-та: C^m_n=n!/(n-m)!m!

св-ва 1)2)3), 4) не важ порядок

Случ События

Событ - всякий факт,кот может произ или нет в рез опыта. Прост и Сложн. Виды:

Iт.з: достов(уже произ, всегда происх), невозм, случайн. II т.з.: Совместн(наступл 1 не искл наступл др), Несовм

III т.з.: Зависимы (вер хатяб 1 из событ завис от наступл др соб), Независ (вер наст кажд не завис от того произ или нет др соб)

Алгебра: Против событ – A не происх

1 ) A+B: ИЛИ – происх хотяб 1 или оба

2) A*B: И(а,но) – всегда оба

Вер-ти:

Вер соб А - матем оц возможности появл этого соб в рез опыта. Исход опыта явл благопр соб А, если появл в рез опыта этого исхода влеч за собой появл соб А.

Р= m/n = благопр/ко всем исходам (классич опред)

Классич опред неприм к испыт с ∞ исход->ввод понятие геометр вер, т.е. вер попад т в отрезок или часть плоск (пространства).Так если на отр длин L выделен отрезок l ,то вер попад наугад взятой т в отрез l равна l/L.

P(A/B) версобытия А вычисл в предпол, что соб В наступило, называется условн вер

Св-ва: 1) 0≤Р≤1, 2) р=0 – невозм, р=1 – достов

Теор: 1) р(A*B) = {p(A)*p(B) для независ A,B,

P(A)*p(B|A) =p(B)*p(A|B) для завис}

(Пр: шары 3б,5ч,7к цв: возвр в корз, не возвр в корз)

2)P(A+B)= {p(A)+p(B) несовм, p(A)+p(B)-p(A*B) совм}

3)P(Ā)=1-p(A) , Ā и A – несовм: P(Ā+A)= P(Ā)+P(A)=1

Формул полн вер: p(A)=Σp(Hi)*p(A|Hi) гипотезы Hi, i=1,n образ поолн гр событ

Док-воТ.к. события H1…Hn образ полн гр соб, то собА можно предств виде суммы:A=AH1+…+AHn.

Т.к. соб H1…Hn несовм, то и соб AH_i тоже несовм. Можно примен теор о слож вер несовм соб:P(A)ΣP(AHi)

При этом P(AHi)=P(Hi)P(A|Hi) Окончат получ формулу

Полн гр соб: ΣHi=1, событ достоверн,попарно несовм

P(Hi|A) - вер того что событие с гипотезы Hi

Ф. Баеса: P(Hi|A)=p(Hi)*p(A|Hi)/p(A)

Пр: 30 студ:5-20 вопр(все),15-18 вопр, 7-15 вопр,3-10 вопр выуч. А – студ ответ на экзамене. P(H4|A)-?

P(H1)=5/20….p(A|H1)=20/20….

p(A)=5*20+15*18+7*15+3*10/30*20=505/600

P(H4|A)=3*10/505

Схема Бернули: n-кол одинак испыт, в кажд р(А) равны

q=1-p, m- кол раз наступ А в n испыт.

Pn(m)=Cn^mp^mq^n-m Cn^m=n!/(n-m)!m!

Пр: за год 10% стан лом, 5 стан, вер что за год 4 стан оч годн, не менее 4 -?. N=5, A-годный стан, p=1-1/10=9/10, q=1/10, P5(4)=C⁴₅p⁴q¹ , P5(m>=4)=p5(4)+p5(5)

Ф Пуассона: n>>, p<<(q<<), a=np, npq<10

Pn(m)≈a^me^-a/m!

Пр: p(A)=2/1000 A-брак, n=500, m=2. a=1 q=0.998

N pq=0.998<10, P500(2)≈1²e^-1/2!=1/2e

Локал т Лапласа: n>>, p[0.25,0.75], n>100, npq>20

X=m-np/√npq , φ(x)=1/√2π * e^{-x^2/2} гаусово норм распред

Pn(m)=1/√npq * φ(x)

Пр: p(A)=0/75, A-своевр вып заказа, n=160, m=120, q=0.25, npq=30>20 p160(120)=1/√30 * 1/√2π e⁰

X=-160*3/4 +120 /√30 = 0

Интегр ф Муавра-Лапл: усл те же

Pn(m1<m<m2)=Фo(х2)-Фo(х1)

x1=(m1-np)/√npq, x2=m2/np/√npq

Фо(x)= ∫₀^x φ(t)dt=1/√2π∫₀^x e^{-t^2/2} dt – ф-я Лапласа

Ф-нечетна. Пр: p=0.75, n=160, m>=110, npq=30

X1=110-120/√30=7.3, x2=160-120/√30,

P160(110<m<160)= Фo(7.3)-Фo(-1.82)= Фo(7.3)-Фo(1.82)

Следств:P(|m/n - p|<=E) =2Фo(E√n /√pq)= 2Фo(nE/√npq)

Ф-я норм распред: Ф(x)= ∫_-∞^x φ(x)dx=1/2 + Фo(x) ->

P(|m/n - p|<=E) = 2Фo(nE/√pnq)= Ф(nE/√npq)-1

Пр: n-?, p=0.03, E<=0.01, P(|m/n - p|<=E)=0.95=2 Фo =>

Фo=0.475 => nE/√npq=1.96 (по табл).

√n*0,01/√0,03*0,95 =1.96 => n=1117.9 =>1118