9.2. Евольвента кола, її властивості та рівняння

Евольвентою кола називається крива, яку описує будь-яка точка прямої, що перекочується по колу без ковзання. Пряму, що перекочується, називають твірною або відтворюючою прямою, вона являє собою рухому центроїду, а коло, відповідно, є нерухомою центроїдою. При перекочуванні за годинниковою стрілкою дотичної прямої n-n по колу , т. К₀ вказаної прямої опише евольвенту К₀К_у (рис. 9.4). Зазначимо, що при перекочуванні даної прямої у протилежному напрямі т. К₀ опише також евольвенту, (точніше ліву вітку евольвенти). Оскільки пряма перекочується без ковзання, справедлива рівність N_нK_y= . Наведемо також інші визначення. Геометричне місце центрів кривини якої-небудь кривої називається еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти – розгортка або евольвента. Отже, евольвента кола є крива, центри кривини якої лежать на колі. В теорії зачеплення це коло називають основним, оскільки воно служить основою для побудови евольвенти, і позначають завжди з індексом в, тобто, r_в. Отже, основне коло – коло, евольвентою якого є профіль зуба.

Детально побудову евольвенти основного кола r_в, при перекочуванні по ньому твірної прямої n-n, розглянемо на занятті з курсового проектування при побудові картини зубчастого зачеплення.

Рівняння евольвенти. Із умови утворення евольвенти довжина відрізка К_уN_у (радіус кривини евольвенти в т. К_y) повинна бути рівна дузі, що розгортається N_yK_y= . В свою чергу, дуга К₀N_у=r_в(_у+_у), а відрізок К_уN_у =r_в tg_у. Звідки

r_в(_у+_у)=r_вtg_у,

або

inv _у=_у=tg_у-_у, (3)

де _у – кут профілю, гострий кут між дотичною до евольвенти (до профілю зуба) у т. К_у і її радіусом вектором ОК_у; _у – евольвентний кут – кут, утворений початковим радіус-вектором ОК₀ та біжучим радіус-вектором ОК_у. Тригонометричну функцію кута _у – _у=tg_у-_у називають евольвентною функцією, позначають скорочено inv (інвалюта) та використовують при геометричному розрахунку евольвентних зубчастих коліс. Для спрощення розрахунків значення inv_у наводяться у таблицях для різних значень кута _у.

Рис. 9.4

Будь-яка т. К_у евольвенти повністю визначається двома параметрами: радіус-вектором r_y та евольвентним кутом _у.

Зв’язок між r_y та кутом _у встановлюється з N_yОК_у залежністю

r_y=r_в/соs_у (4)

Формули (3) та (4) визначають рівняння евольвенти в полярних координатах r_y і _у. Ці рівняння, після виключення параметра _у, вказують на те, що евольвента повністю визначається основним колом.

Для теорії зачеплення важливе значення мають такі основні властивості евольвенти:

• евольвента являє собою симетричну криву, що має дві вітки, які збігаються у початковій точці К₀, розміщеній на основному колі. Отже, евольвента не має точок всередині основного кола;

• точки N_у є миттєвими центрами швидкостей твірної прямої n-n і центрами кривини евольвенти у точках К_у. Отже, нормалі до евольвенти в будь-якій точці є прямі, що дотичні до основного кола у відповідних точках;

• основне коло є геометричним місцем центрів кривини евольвенти, що описують твірні прямі, тому відрізки N_уК_у є радіусами кривини евольвенти у відповідних точках К_у;

• кут профілю _у та радіус кривини r_y евольвенти у початковій точці К₀ дорівнюють нулю. По мірі віддалення точок евольвенти від основного кола, кут профілю збільшується, кривина евольвенти зменшується, тобто радіус кривини збільшується;

• при збільшенні радіуса основного кола евольвентний профіль поступово втрачає свою кривину і при r_в= евольвента перетворюється на пряму лінію.

Отже, щоб визначити радіус кривини евольвенти (зубця) у певній точці треба провести від неї дотичну до основного кола.