- •Предмет теории вероятности
- •4.Осн. Правила и формулы комбинаторики
- •6. ГеометрическиОе определение вероятности
- •7. Теоремы сложения вероятностей
- •Свойства функции распределения
- •Свойства математического ожидания
- •20. Нормальное распределение
- •Свойства математического ожидания
- •23. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •33. Точечное оценивание параметров распределения.
- •35. Доверительный интервал и доверительная веротность.
- •36. Доверительные интервалы математического ожидания и для дисперсии нормально распределенной случайной величины.
4.Осн. Правила и формулы комбинаторики
Выбор с возвр-нием: кажд выбр-ный шарик возвр-ся в урну, т.е. кажд из шариков выбир-ся из полной урны. В получ-м наборе, сост-м из номеров шариков, могут встреч-ся одни и те же номера (выборка с повторениями).
Выбор без возвр-ния: выбр-ные шарики в урну не возвр-ся, и в получ наборе не могут встреч-ся одни и те же номера (выборка без повторений).
Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров.
Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.
Размещ-ми из элем-в по ( ) наз их соед-ния, каждое из кот содержит ровно различ-х элем-в , и кот отлич-ся либо сами элем-ми, либо порядком элем-в.
Теорема. Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-ов из без возвращения и с учетом порядка наз-ся числом размещений из элементов по и определяется формулой .
Соединения из элем-в, каждое из кот содержит все элем-в, и кот отлич-ся лишь порядком элем-в, наз-ся перестановками .
Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-в из без возвращения и с учетом порядка наз числом перестановок и опр-ся по формуле
Соч-ми из элем-в по ( ) наз такие их соед-я, каждое из кот содержит ровно д-ых элем-в, и кот отлич-ся хотя бы одним элем-м.
Теорема. Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-в из без возвр-ия и без учета порядка наз числом сочетаний из элем-в по и опр-ся формулой:
.
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и с учетом порядка определяется формулой .
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и без учета порядка определяется формулой
5. КЛАССИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятность события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов :
0≤m≤n
0 ≤m/n≤1
0≤P(A)≤1
Т.о. вер-ть любого соб-я есть неотриц. число превышающее 1.
если Р(А)=0, то соб-е А невозможное.
если Р(А)=1, то соб-е А достоверное.
Равновозм-ое элем-ое соб-е явл равновероятностным, т.е. обладает одной и той же вер-ю.
Т1. А=В, Р(А)=Р(В)
Т2. если АϵВ, Р(А)≤Р(В)
Т3. Ā есть противоп соб-е к соб-ю А, то Р(А)+Р(Ā)=1
6. ГеометрическиОе определение вероятности
Приведем формальное определение вероятностей для испытаний с бесконечным числом исходов. В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть областью , а под событием можно понимать исходы, входящие в область .
Пусть на область наугад бросается «точка». Какова вероятность того, что эта точка попадет в область , являющуюся частью области ?
1случай. Пусть отрезок , длину которого обозначим как , составляет часть отрезка длина которого . На отрезок наудачу поставлена точка. опр-ть вер-ть того, что эта точка попадет на отрезок gϵG.
.
2случай. Пусть плоская фигура с площадью составляет часть плоской фигуры , площадь которой . На фигуру наудачу брошена точка. найти вер-ть того, что эта точка попадет на фигуру g .
Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через , а меру области – через ; обозначим через событие «попадание брошенной точки в область , которая содержится в области ». Вероятность события , т.е. вероятность попадания в область точки, брошенной в область , определяется формулой:
.