Свойства эмпирической функции распределения

Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].

– неубывающая функция.

Если – наименьшая варианта, то =0 при , если – наибольшая варианта, то =1 при .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

31. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СТАТ-ГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты и соединяют точки отрезками прямых.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) . Площадь i–го прямоугольника равна – сумме частот вариант i–о интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

В случае гистограммы относительных частот по оси ординат откладываются относительные частоты , на оси абсцисс – частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на высоте .

32. ОСН ЧИСЛОВЫЕ ХАРАК-КИ СТАТ-ГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Выборочным средним называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения признака выборки объема n различны, то:

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если все значения признака выборки объема n различны, то:

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то:

.

ОПР: коэф-ом вариации наз-ся процентное отношение сред. квадрат-го отклон-я к сред арифм-й

Медианой называется значение варианты находящееся в середины вариационного ряда.

33. Точечное оценивание параметров распределения.

Пусть требуется изучить некот кол-ый признак генер-ой сов-ти. Допустим, что из теор-их соображений удалось устан-ть, какое именно распр-ие имеет признак и необ-мо оценить параметры, кот оно опр-ся. Напр, если изуч признак распр-н в генеР-й сов-ти норм, то нужно оценить матема-ое ожидание и среднее квадр-кое откл-ие; если признак имеет распределение Пуассона – то необх оценить параметр .

Обычно имеются лишь д-ые выборки, напр значения кол-го признака , полученные в рез-те n незав-х набл-ий. Рассм-ая как незав-ые случ величины можно сказать, что найти стат-ую оценку неизв-го параметра теор-го распред-я – это значит найти ф-цию от наблюд-х случ величин, кот дает прибл-ое значение оц-го параметра. Напр, для оценки матем-го ожид-я норм распред-я роль ф-ции выполняет среднее арифм-ое:

Для того чтобы стат-ие оценки давали корректные приближ-я оцениваемых парам-в, они должны удовл-ть некот треб-м, среди кот важн-ми явл требования несмещенности и состоятельности оценки.

Пусть – стат оценка неизвестного параметра теоретического распред-я. Пусть по выборке объема n найдена оценка . Повторим опыт, т.е. извлечем из генер-й сов-ти другую выборку того же объема и по ее д-м получим другую оценку . Повторяя опыт многократно, получим различные числа . Оценку можно рассм-ть, как случайную величину, а числа – как ее возможные значения.

Несмещенной наз стат-ую оценку , мат-ое ожидание кот равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки .

Смещенной наз оценку, не удовлетв-ую этому условию.

Эффективной наз стат оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной наз стат оценка, кот при n стремится по вер-ти к оцениваемому параметру.

34. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В связи с этим при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, определяющуюся двумя числами – концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Очевидно, тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число  характеризует точность оценки.