- •Предмет теории вероятности
- •4.Осн. Правила и формулы комбинаторики
- •6. ГеометрическиОе определение вероятности
- •7. Теоремы сложения вероятностей
- •Свойства функции распределения
- •Свойства математического ожидания
- •20. Нормальное распределение
- •Свойства математического ожидания
- •23. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •33. Точечное оценивание параметров распределения.
- •35. Доверительный интервал и доверительная веротность.
- •36. Доверительные интервалы математического ожидания и для дисперсии нормально распределенной случайной величины.
Свойства функции распределения
Функция распределения принимает значения из промежутка : .
Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .
Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при .
.
Если , то .
Если , то .
ОПР: функция распред-я любой дискрет-й случ величины есть разрывчатая ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках соотв. возм-х значениям случ величины и равны вероят-м этих значений.
16. Дискретно распределенная случайная величина
ОПР: Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма парных произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности:
,
где .
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.
2. M(CX)= C·M(X)
3. M(X+Y)=M(X)+M(Y)
4.
5.
ОПР: Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:
.
свойства дисперсии
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
D(X-Y)= D(X)-D(Y)
ОПР: Средним квадратичным отклонением (или стандартом) случайной величины называется корень квадратный из дисперсии этой величины: .
17. НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла:
Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла:
.
Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины вычисляется как корень квадратный из дисперсии:
.
18. БИННОМИНАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
ОПР: законом распределения случайной величины наз соот-ие между значениями случ-й величины и их верот-ми.
Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: .
Биномиальный закон распределения часть приходится применять в условиях, когда число независимых испытаний велико. Вычисление вероятностей по формуле Бернулли при этом усложняется, поэтому представляет интерес асимптотическое приближение для биномиального закона, справедливое при больших . Возможны два случая:
Когда при увеличении числа испытаний математическое ожидание рассматриваемой случайной величины тоже неограниченно возрастает (случай постоянного ); при этом биномиальное распределение сходится к нормальному закону, который будет рассмотрен позже.
Когда при увеличении числа испытаний остается постоянным произведение , то есть математическое ожидание рассматриваемой случайной величины остается конечным. Это означает, что вероятность события стремится к нулю. В этом случае биномиальное распределение сходится к распределению Пуассона.
19. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАСОНА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
ОПР:Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле Пуассона, когда :
ТЕОРЕМА: М случ величины распред-ой по закону Пуассона =λ Д=λ, ϭ(х)=