- •Физические основы механики.
- •1. Кинематика поступательного движения.
- •1.1 Механическое движение.
- •1.2.Пространство и время.
- •1.3. Система отсчета.
- •1.4. Кинематические уравнения движения.
- •1.5. Перемещение, элементарное перемещение.
- •1 .6. Скорость.
- •1.7. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.
- •2.Динамика поступательного движения
- •2.1. Поступательное движение
- •2.2. Закон инерции.
- •2.3. Инерциальная система отсчета.
- •2.4. Масса. Второй закон Ньютона.
- •2.5. Сила.
- •2.6.Основной закон динамики материальной точки.
- •2.7. Третий закон Ньютона
- •2.8. Преобразования Галилея
- •Продифференцировав их по времени, получим связь между скоростями точки а в системах отсчета и в векторной и координатной формах:
- •2.9. Принцип относительности Галилея
- •Законы сохранения.
- •Сохраняющиеся величины
- •3.3 Центр масс
- •3.4. Уравнение движения центра масс.
- •4.Работа и энергия
- •4.1 Работа
- •2. Работа упругой силы
- •4.3. Консервативные силы
- •4.4. Центральные силы.
- •4.5. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
- •4.6. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.
- •4.7. Кинетическая энергия частицы в силовом поле.
- •4.8. Полная механическая энергия частицы.
- •4.9. Закон сохранения механической энергии частицы.
- •5.Кинематика и динамика вращательного движения.
- •5.1.Кинематика.
- •5.2. Момент импульса частицы. Момент силы.
- •5.3. Момент импульса и момент силы относительно оси.
- •5.4. Закон сохранения момента импульса системы.
- •5.5. Момент инерции твердого тела.
- •5.6. Уравнение динамики вращения твердого тела.
- •5.7. Кинетическая энергия вращающегося тела.
- •5.8. Работа вращения твердого тела.
- •6.Неинерциальные системы отсчёта
- •6.1 Силы инерции (Сав. Стр.118)
- •6.2. Центробежная сила инерции
- •6.3 Сила Кориолиса
- •7.Механические колебания
- •7.1 Общие сведения
- •7.1 Малые колебания
- •7.2 Гармонические колебания.
- •7.3 Математический маятник Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною , совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
- •Записав для пути точки: , а для ускорения , запишем уравнение движения вдоль оси : . Или для малых углов (когда )
- •7.4. Физический маятник.
- •7.5 Затухающие колебания
- •7.6 Автоколебания
- •7.7 Вынужденные колебания
- •7.8 Резонанс
- •8. Волны
- •8.1 Распространение волн в упругой среде.
- •8.2 Уравнение плоской и сферической волн.
- •8.3. Волновое уравнение
- •Подставим в уравнение () и и учтем, что , получим:
4.5. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциальной энергии, называемой еще функцией состояния.
Возьмем стационарное поле консервативных сил, например электростатическое поле, в котором мы перемещаем частицу (заряд) из разных точек в некоторую фиксированную точку О (точку отсчета). Найдем работу сил поля. Поскольку она не зависит от пути, то остаётся зависимость её только от положения т. , поскольку положение т. О— фиксировано, т.е. зависит от пределов интегрирования. Это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора точки :
Функцию называют потенциальной энергией частицы в поле сил.
Теперь найдем работу при перемещении частицы из т.1 в т.2. Поскольку она не зависит от формы пути, то путь можно выбрать проходящим через т. О, тогда или с учетом (*) и обозначений:
; ;
(**)
Правая часть выражения представляет собой разность начального и конечного значений потенциальной энергии, т.е., убыль потенциальной энергии частицы.
По определению называют приращением, а убылью энергии. Т.о., работа сил поля на пути 1—2 равна убыли потенциальной энергии частицы на этом пути.
Из формулы (**) видно, что работа сил поля определяется лишь разностью энергий в двух точках, а не их абсолютными значениями, значит, частице в т. О можно приписать произвольное, наперед выбранное значение потенциальной энергии. Однако, как только зафиксирована потенциальная энергия частицы в одной, какой-либо точке, её значения во всех остальных точках поля определяются однозначно выражением (**).
Эта формула позволяет найти вид потенциальной энергии для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу совершаемую силами поля между двумя любыми точками и представить её в виде убыли некоторой функции расстояния, которая и есть потенциальная энергия. Так и было ранее сделано при вычислении работы гравитационной, упругой и силы тяжести. Видно, что потенциальная энергия частицы в данных полях имеет вид :
—в поле гравитационной, кулоновской силы.
— в поле упругой силы.
— в поле силы тяжести.
Отметим еще раз, что потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной величины, что несущественно, т.к. во всех формулах входит разность её значений в двух положениях частицы, поэтому постоянная выпадает, и её опускают.
Кроме этого важно заметить, что потенциальную энергию следует относить не к частице в поле, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тела, создающего силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия зависит только от положения частицы относительно этого тела.
4.6. Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий , т.к. он применим и к силам, для которых нельзя ввести понятие потенциальной энергии (силы трения, например). Второй способ применим к консервативным силам, для которых введено понятие потенциальной энергии. Он удобен тем, что между потенциальной энергией и силой со стороны поля существует определенная связь. Зная эту связь, можно по виду зависимости — функции положения частицы в поле, находить поле сил .
Найдем эту связь. Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из одной точки поля в другую может быть представлена в виде убыли потенциальной энергии частицы . Это можно также записать и для элементарного перемещения .
, т.е.
Как видно из рисунка, ; — элементарный путь. Значит, ; Здесь величина есть убыль потенциальной энергии в направлении перемещения ; Отсюда:
т.е. проекция силы , действующей на частицу в данной точке поля, на направление перемещения равна убыли потенциальной энергии частицы в этом направлении. Символ указывает на то, что производная берется по определенному направлению.
Перемещение можно брать в любом направлении, например, вдоль осей координат . Если перемещение происходит вдоль оси то ; а , — проекция силы на орт (а не на перемещение , как в случае ). Тогда, относительно оси можно записать:
. Символ означает, что при дифференцировании должна рассматриваться как функция только одного аргумента , а остальные аргументы должны оставаться при этом постоянными. Для проекций силы на другие оси выражения будут аналогичными: ; .
Зная проекции можно найти и сам вектор или .
Выражение в скобках называется градиентом скалярной функции , и обозначается или .
— символический вектор или оператор Гамильтона. Действие этого оператора на скалярную функцию — формально можно рассматривать как произведение символического вектора на скаляр .
Таким образом, между силой со стороны поля и потенциальной энергией как функцией координат существует зависимость:
сила, действующая со стороны поля на частицу равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля. Эта формула позволяет, зная зависимость , найти вид зависимости .