5.5. Момент инерции твердого тела.

Р ассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси . Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных частиц с неизменным расстоянием между ними. Возьмем на оси вращения т. О. Относительно нее момент импульса i-ой частицы с радиусом-вектором равен: ; Или

, где расстояние от точки до оси ; Момент импульса всего тела относительно оси можно записать:

; т.к.

Величина называется моментом инерции твердого тела относительно оси .

Он зависит от распределения масс относительно этой оси и является величиной аддитивной. Вычисление момента инерции тела проводится по формуле ; и масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии от оси ; ‑плотность тела в данной точке.

С учетом того, что , можно записать: .

Достаточно просто момент инерции находится относительно оси симметрии тела. Для однородных симметричных тел существует ось, положение которой в пространстве остаётся неизменной при вращении вокруг неё тела в отсутствии внешних сил со стороны, например, подшипников. Она называется свободной осью тела.

Для тела произвольной формы существуют три взаимно оси, проходящие через центр масс тела – главные оси инерции тела. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела.

Д ля некоторых тел с надлежащим распределением масс (шар куб и т.д.). Эти тела называются шаровыми волчками. Характерным для них является то, что любая ось, проходящая через центр масс С, обладает свойствами свободной оси, и, следовательно, ни одна из главных осей инерции не фиксирована, как и для шара.

Тела с ведут себя как однородные тела вращения, их называют симметричными волчками.

Д ля нахождения момента инерции относительно другой оси, параллельной первой пользуются теоремой Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси , параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы тела на расстояние между осями .

Например, для диска радиусом момент инерции относительно оси, перпендикулярной площади диска и проходящей через его край, равен:

5.6. Уравнение динамики вращения твердого тела.

Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси :

и подставив значение , выраженное через момент инерции относительно той же оси вращения: . После подстановки:

. Откуда следует: . Или:

, () – уравнение динамики вращения твердого тела.

Здесь —суммарный момент всех сил относительно оси вращения . Отсюда видно, сравнивая со вторым законом Ньютона, что во вращательном движении роль массы играет момент инерции тела, аналогом линейного ускорения выступает угловое ускорение , а роль результирующей силы играет суммарный момент внешних сил . Момент инерции определяет инертные свойства вращающегося тела. Если масса не зависит от выбора системы отсчета, то зависит от выбора оси, относительно которой он определяется.

Для однородного тела, симметричного относительно оси вращения момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает по направлению с вектором , в этом случае модуль момента импульса равен - модулю проекции на ось . С учетом того, что , получим:

, а т.к. векторы и имеют одинаковое направление, то:

.

Значит, в отличие от выражения , справедливого для любого тела, соотношение имеет место в случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, а также для несимметричного тела, вращающегося вокруг одной из главных осей инерции.

И нтегрирование уравнения (*) с учетом начальных условий и при позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела, т.е. найти , в любой момент времени в системе отсчета, жестко связанной с осью вращения.