Пример.

Рассмотрим цифровое перепроектирование при использовании способов билинейного преобразования и уравнения в конечных разностях для непрерывной системы управления с ПИ (пропорционально-интегральным) регулятором. Пусть , .

Решение.

1. Цифровое перепроектирование с использованием билинейного преобразования.

Найдем передаточную функцию цифрового ПИ‑регулятора:

.

2. Цифровое перепроектирование с использованием уравнения в конечных разностях.

Найдем передаточную функцию цифрового ПИ‑регулятора:

.

Отметим, что преобразования (3.1)–(3.4) можно применить к передаточным функциям разомкнутой или замкнутой непрерывной системы, определяя потом по очевидным формулам. Преобразование передаточной функции замкнутой системы с использованием (3.1) или (3.4) гарантирует устойчивость полученной цифровой системы.

Перепроектирование по переходному процессу системы замкнутой по переменным состояния.

Исходный переходной процесс, который является эталонным, задан для замкнутой непрерывной системы с непрерывным объектом управления уравнением состояния:

, , ; (3.7)

, . (3.8)

и уравнением обратной связи по состоянию системы:

, . (3.9)

Подстановка даёт:

(3.10)

Переходный процесс такой замкнутой системы описывается выражением:

.

В соответствии с этим, смена состояния в каждый момент выборки определяется выражением:

. (3.11)

Рассмотрим систему цифрового управления с обратной связью по состоянию системы, имеющую период дискретизации и в которой использован фиксатор нулевого порядка (см. рис. 3.3).

В этом случае закон управления определен в виде:

. (3.12)

Уравнения состояния объекта в дискретном времени имеют вид

; (3.13)

; (3.14)

где , . (3.15)

Поэтому для замкнутой системы можно записать:

; (3.16)

. 3.17)

С другой стороны, поведение непрерывной системы в каждый момент дискретизации определяется выражением (3.11). Таким образом, в принципе можно обеспечить полное совпадение переходных процессов цифровой и непрерывной систем в каждый момент выборки, если согласно выражениям (3.11) и (3.16) удастся выбрать так, чтобы удовлетворялось равенство:

. (3.18)

Это матричное уравнение для определения компонентов вектора в общем случае неразрешимо, поскольку это система алгебраических уравнений для неизвестных.

В этой связи рассмотрим менее строгое условие обеспечения совпадения выходных переменных для всех моментов дискретизации. Это условие обеспечивается при выполнении равенства:

, (3.19)

которое эквивалентно системе уравнений для неизвестных. Вообще говоря, выполнение (3.19) не гарантирует совпадения процессов в непрерывной и дискретной системах.

3.2. Расчет компенсационных регуляторов по дискретной модели

Общие положения.

Пусть линейный объект с известной передаточной функцией входит в состав системы, задачей которой является требуемое преобразование входного сигнала в выход, регулируемую координату . Требуемое преобразование описывается так называемой – желаемой передаточной функцией . В идеальном случае . Для придания системе желаемых свойств на вход объекта устанавливается регулятор, передаточная функция которого должна быть выбрана таким образом, чтобы передаточная функция системы с регулятором , была равна желаемой: . Выход регулятора называется управлением . Для цифровой системы регулятор реализуется в ЦВМ, и выбор передаточной функции есть по сути выбор алгоритма управления.

Для формирования управления может быть использована информация только о входном (задающем) сигнале , тогда система оказывается разомкнутой (см. рис. 3.4), либо еще и информация о регулируемой величине , тогда система будет замкнутой. Далее для простоты будем полагать, что в замкнутой системе для формирования управления используется разность , что соответствует единичной отрицательной обратной связи.

При выбранной желаемой передаточной функции задача определения передаточной функции регулятора решается элементарно.

Если система разомкнутая, то:

;

.

Для замкнутой системы:

;

.

Выбор желаемой передаточной функции не вполне произволен. Она должна удовлетворять следующим двум условиям.

1. В желаемой передаточной функции (или разность порядков знаменателя и числителя должна быть не меньше, (т.е. больше либо равна) чем разность порядков знаменателя и числителя передаточной функции объекта. В противном случае полученный регулятор окажется нереализуемым – у него порядок числителя будет больше порядка знаменателя.

2. Чтобы спроектированная система была грубой (не теряла устойчивости при малых отклонениях параметров), желаемая передаточная функция должна содержать те же неминимальнофазовые нули, которые содержит передаточная функция объекта. Нули передаточной функции называются неминимальнофазовыми если они лежат вне единичной окружности плоскости .

Пример.

Рассмотрим пример, поясняющий необходимость выполнения условия 2:

;

;

;

.

Спроектированная система оказалась неустойчивой при малом изменении параметра.

Следствие: компенсационные регуляторы нельзя применить к неустойчивым объектам.