- •Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •Анализ систем цифрового управления
- •Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •1. Математическое описание цифровых систем
- •1.1. Расчетная схема цифровой системы. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование
- •1.2. Математическое описание импульсного элемента
- •1.3. Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •1.4. Передаточная функция экстраполятора
- •Пример.
- •Z‑преобразования некоторых числовых последовательностей.
- •Пример. Найдём z‑преобразование единичной ступенчатой функции.
- •Некоторые функции времени и их преобразования Лапласа и z‑преобразования
- •1.6. Передаточная функция непрерывной части цсу
- •1.7. Передаточная функция эвм
- •1.8. Частотные характеристики цифровых систем
- •1.9. Описание дискретных систем с помощью уравнений состояния
- •2. Анализ систем цифрового управления
- •2.1. Управляемость и наблюдаемость
- •2.2. Устойчивость цифровых систем
- •Пример 1.
- •Решение
- •2.3. Динамические показатели качества цифровых систем управления и их взаимосвязь с характеристиками непрерывных систем
- •2.4. Оценка точности цифровых систем
- •3. Синтез цифровых систем с заданными характеристиками
- •3.1. Повторный синтез. (Цифровое перепроектирование)
- •Перепроектирование по передаточным функциям системы.
- •Пример.
- •Перепроектирование по переходному процессу системы замкнутой по переменным состояния.
- •3.2. Расчет компенсационных регуляторов по дискретной модели
- •3.3. Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •Определение алгоритма управления:
- •3.4. Расчет апериодических регуляторов (регуляторы с конечным временем установления)
- •Передаточная функция разомкнутой системы:
- •Отметим основные недостатки апериодических регуляторов:
- •3.5. Регуляторы состояния с заданным характеристическим уравнением
- •Пример.
- •3.6. Следящая система с заданным характеристическим уравнением
- •3.7. Регуляторы состояния при неполных измерениях. Наблюдатели состояния
- •3.8. Наблюдатели неполного порядка
- •3.9. Цифровое управление с учетом запаздывания
Пример.
Пусть числовая последовательность имеет вид . Тогда соответствующее Z‑преобразование будет иметь:
.
В табл. 1 приведен перечень наиболее важных и часто употребляемых Z‑преобразований некоторых числовых последовательностей.
Таблица 1
Z‑преобразования некоторых числовых последовательностей.
|
|
(Символ Кронекера) |
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (1.8) используется при нахождении Z‑преобразования функции. Однако неудобство этого выражения состоит в том, что оно является бесконечным рядом, а не эквивалентной функцией в комплексной форме. Альтернативное выражение для Z‑преобразования можно получить, если непрерывный сигнал задан преобразованием Лапласа. Тогда:
; (1.9)
где – полюсы функции .
Пример. Найдём z‑преобразование единичной ступенчатой функции.
1-й способ.
Единичная ступенчатая функция квантуется идеальным квантователем, при этом его выходным сигналом является последовательность единичных импульсов:
;
Преобразуя по Лапласу, найдём
;
Умножим обе части последнего равенства на и вычтем результат из последнего равенства, тогда
для .
.
Тот же результат можно получить, применяя формулу (1.6). Действительно, преобразование Лапласа имеет простой полюс .
Следовательно,
Свойства Z-преобразования.
Рассмотрим основные свойства Z‑преобразования, используемые в дальнейшем для анализа систем цифрового управления.
Линейность – выполняется принцип суперпозиции:
.
Предельные теоремы:
а) О начальном значении решетчатой функции:
.
б) О конечном значении:
.
Теоремы справедливы, если все пределы существуют.
Теорема о смещении во временной области:
.
При целых значениях имеем:
. (1.10)
Если выполняется условие при , то можно также определить Z‑преобразование числовой последовательности , опережающей на один такт указанную последовательность :
.
Переходя к обобщённому представлению:
. (1.11)
Формулы (1.10) и (1.11) широко используются при решении разностных уравнений и при нахождении Z‑преобразования уравнений состояния.
Обратное Z-преобразование - это восстановление решетчатой функции по её Z‑изображению. Обратное Z‑преобразование обозначается так:
.
Следует отметить, что обратное Z-преобразование в отличие преобразования Лапласа является неоднозначным в том смысле, что совпадает с только в моменты квантования.
В общем случае обратное Z-преобразование может быть определено одним из трёх методов:
Разложение на элементарные дроби. Используется, если Z‑изображение – дробно‑рациональная функция. После разложения для каждой элементарной дроби находят по таблице соответствующую решетчатую функцию.
Приведём таблицу некоторых наиболее важных и часто употребляемых Z‑преобразований.
Таблица 2
Некоторые функции времени и их преобразования Лапласа и z‑преобразования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение общей интегральной формулы: . Интегрирование ведётся по контуру, включающему все особые точки подынтегральной функции.
Разложение в ряд Лорана – степенной ряд по отрицательным степеням : .
Сравнение с формулой Z-преобразования
;
дает:
; ; .
Для дробно-рациональной функции ряд Лорана получается простым делением числителя на знаменатель.
Пример 1.
Дано Z-преобразование . Требуется найти обратное преобразование, т.е. .
Применим метод разложения на простейшие дроби , откуда .
Следовательно, .
Из табл. 2 Z-преобразований найдём .
Следовательно, дискретная временная функция может быть записана в виде:
.
Применим метод разложения в степенной ряд.
Последовательное деление числителя на знаменатель даёт: , откуда согласно табл. 1:
, где .
Используя формулу обращения, получим:
;
где – окружность, включающая в полюсы в точках, ,
Пример 2.
Пусть требуется найти решение уравнения в конечных разностях типа: при , , .
Осуществим Z-преобразование функции и обеих частей уравнения:
;
или
;
откуда
;
Представим
;
Домножая на , получим:
.
Используя табл. 1 Z-преобразования, найдём:
, .