2. Анализ систем цифрового управления

2.1. Управляемость и наблюдаемость

Линейный дискретный объект, описываемый уравнениями

(2.1)

является полностью управляемым, если существует конечная последовательность управлений , которая за тактов переводит объект из произвольного начального состояния в произвольное конечное состояние . Таким образом, проблема управляемости сводится к вопросу о существовании ограниченного управляющего воздействия , , переводящего систему (2.1) из произвольного начального состояния в любое другое состояние .

Пусть и заданы, а управление считаем скалярным (полученные результаты элементарно распространяются на случай векторного управления). По известной формуле (п. 1.10.) получим: .

Введем вектор . По сути, это искомая последовательность управлений. Введем матрицу . Тогда .

Это система линейных алгебраических уравнений для определения составляющих вектора . Её решение имеет вид . Оно существует, если матрица обратима (т.е. является квадратной и неособенной ( ). Таким образом, условие управляемости , где  – порядок системы.

Линейный объект полностью наблюдаем, если произвольное начальное состояние можно восстановить по конкретному набору переменных .

Введем матрицу наблюдаемости ;  – вектор-строка .

Система полностью наблюдаема, если (без доказательства).

Поясним понятия управляемости и наблюдаемости на примере. Пусть система ; такова, что матрица имеет собственные числа все различные и вещественные. Тогда существует преобразование координат: ; , приводящее исходную систему к специальному виду:

где  – диагональ из собственных чисел матрицы .

Тогда система распадается на независимых уравнений

.

Система полностью управляема, если все . Если некоторое конкретное , то на соответствующую координату нельзя воздействовать, следовательно, она неуправляема.

Система полностью наблюдаема, если все (так как все координаты участвуют в формировании выхода и по выходу могут быть восстановлены).

Имеет место следующая теорема: если в передаточной функции вход-выход цифровой системы имеется компенсация (сокращение) полюсов (корни знаменателя передаточной функции) и нулей (корни числителя передаточной функции), то в зависимости от выбора базиса система может быть описана как не полностью управляемая или/и как не полностью наблюдаемая.

2.2. Устойчивость цифровых систем

Как и для непрерывных систем, под устойчивостью дискретных систем понимают их способность возвращаться в положение равновесия после окончания действия внешних факторов. Исследование устойчивости линейных систем, как известно, может быть сведено к исследованию устойчивости автономной системы при ненулевых начальных условиях, т.е. к исследованию устойчивости тривиального решения для автономной системы:

; (2.7)

. (2.8)

Основные понятия устойчивости линейных дискретных систем практически идентичны соответствующим понятиям непрерывных систем. Ограничимся рассмотрением свойства асимптотической устойчивости. Устойчивость по выходу определяется характером изменения выходной переменной . Система называется устойчивой, если

. (2.9)

Устойчивость по состоянию имеет место, если:

. (2.10)

Как и в случае непрерывных систем, понятия устойчивости по выходной переменной и вектору состояния совпадают при условии полной наблюдаемости системы.

Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости является условие:

, ; (2.11)

где  – i-ое собственное число матрицы или  – i-ый корень (полюс) характеристического многочлена

. (2.12)

Напомним, что для любого объекта характеристический полином совпадает со знаменателем передаточной функции этого объекта.

Действительно, при из выражения следует, что при последовательность при , так как это убывающая геометрическая прогрессия. Это положение можно доказать и для случая системы n-ого порядка, если представить выражение (2.7) в виде системы геометрических прогрессий, полученных в результате диагонализации матрицы .

Сформулированный критерий связывает понятие асимптотической устойчивости с размещением корней характеристического полинома на комплексной плоскости: расположение всех корней внутри круга единичного радиуса эквивалентно асимптотической устойчивости системы. Поэтому окружность единичного радиуса является границей устойчивости на плоскости .

Появление одного вещественного или пары комплексно-сопряженных корней на единичной окружности при условии расположения остальных корней внутри круга свидетельствует о нейтральной устойчивости дискретной системы (устойчивости по Ляпунову).

Корневые критерии устойчивости дискретных систем могут быть выведены из соответствующих положений непрерывной теории.

Рассмотрим одну из модификаций алгебраических методов, позволяющих оценивать условие (2.11) по коэффициентам характеристического многочлена (2.12).

Необходимым и достаточным условием расположения корней характеристического многочлена внутри окружности единичного радиуса при является положительность левого крайнего коэффициента четвертой строки и отрицательность левых крайних коэффициентов четных строк в составленной специальным образом табл. 3.

Таблица 3

Оценка устойчивости системы по коэффициентам характеристического многочлена

Строка 1
Строка 2
Строка 3
Строка 4
Строка 2n-1
Строка 2n
Строка 2n+1
Строка 2n+2

Коэффициенты в нечетных строках табл. 3 вычисляются по данным предыдущих двух строк способом, приведенным в табл. 4. Согласно этому способу вычисляется определитель матрицы , первый столбец которой состоит из левых крайних коэффициентов расположенных сверху двух строк.

Таблица 4

Вычисление коэффициентов нечетных строк

Строка 2m-1
Строка 2m
Строка 2m+1

где ; .

Коэффициенты четной строки представляют обратную последовательность коэффициентов предыдущей нечетной строки.