Угловая скорость будет

(3.27)

Вектор угловой скорости ω всегда нормален к плоскости, в которой происходит вращение. Индексы у компонентов угловой скорости показывают направление осей вращения.

Удвоенные компоненты скорости ω_x, ω_y, ω_z называются ком­понентами вектора вихря Ω = 2ω:

(3.28)

Совокупность этих векторов составляет векторное поле.

Составной частью векторного поля является вихревая линия  ли­ния, в каждой точке которой вектор угловой скорости совпадает с ка­сательной к этой линии (рис.3.4).

Рис.3.4. Схема вихревой линии

Дифференциальные уравнения вихревых линий

(3.29)

где t - время, рассматриваемое как параметр.

Вихревые линии, так же как и линии тока, при установившемся движении не изменяются во времени. По характеру движения частиц различают вихревое и потенциальное (безвихревое) движение жидкости.

Вихревое движение  движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы.

Движение, при котором описанное выше вращение частиц отсутствует, называется безвихревым (потенциальным) движением. В этом случае .

Тогда согласно (3.13) получим

(3.30)

Из этого следует, что должна существовать некоторая функция Ф, удовлетворяющая условиям

(3.31)

Эта функция называется потенциалом скорости.

Действительно, учитывая, что потенциал скорости является непрерывной функцией от х, у, z, t и принимая во внимание независимость значений второй производной непрерывной функции от порядка дифференцирования, имеем

(3.32)

Знак минус в (3.31) принят для того, чтобы подчеркнуть, что дви­жение происходит от точек с большим значением потенциала скорости к точкам с меньшим его значением.

3.4. Ускорение жидкой частицы Ускорение жидкой частицы можно представить в виде

(3.33)

Так как то в проекциях на оси координат имеем

(3.34)

Частные производные по времени от проекций скорости называются проекциями локального (местного) ус­корения в точке.

Они характеризуют закон изменения поля скоростей во времени. Очевидно, что локальное ускорение равно нулю при установившемся движении.

Сумму вида называют проекциями конвективного ускорения, поскольку она определяет ускорение частицы при изменении ее положения в поле скоростей (конвекции).

Конвективное ускорение характеризует неоднородность поля скоростей в данный момент времени. Суммы проекций локального и конвективного ускорений называют проекциями субстанционального или полного ускорения

(3.35)

Контрольные вопросы

1. В чем заключаются особенности способов описания жидкости по Лагранжу и по Эйлеру?

2. Что такое линия тока?

3. Что такое трубка тока и элементарная струйка жидкости?

4. Дайте определение живого сечения струйки, расхода жидкости и средней по живому сечению скорости.

5. Каковы различия вихревого и безвихревого (потенциального) дви­жения?

6. Запишите выражение для угловой скорости и для ее компонентов. Что характеризуют локальное и конвективное ускорения?

7. Напишите уравнение неразрывности для установившегося дви­жения несжимаемой и сжимаемой жидкости.

8. Что такое смоченный периметр, гидравлический радиус?

ЛЕКЦИЯ 4. ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ). ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ НЕВЯЗКОГО ГАЗА