Контрольные вопросы

1. В каких единицах измеряется давление? Чему равняется атмосфер­ное давление?

2. Что такое абсолютное, избыточное, вакуумметрическое давление?

3. Отличается ли пьезометрическая высота от вакуумметрической высоты?

4. В каких случаях плоскость пьезометрического напора располагается выше и ниже свободной поверхности покоящейся жидкости?

5. Может ли плоскость пьезометрического напора совпадать со свободной поверхностью?

6. Запишите выражение для полного дифференциала давления. Как из этого выражения получить основное уравнение гидростатики?

7. Что такое поверхность равного давления? Каково ее уравнение?

Лекция 3. Кинематика жидкости. Общие положения и определения. Расход. Уравнение расхода. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении. Ускорение жидкой частицы

3.1. Общие положения и определения

Кинематика жидкости  раздел гидромеханики, в котором движение жидкости и газа изучается вне зависимости от действующих сил.

В этом разделе устанавливаются связи между координатами жидких частиц, их скоростями, ускорениями и иными параметрами, а также закономерности их изменения во времени.

Кинематика жидкости существенно отличается от кинематики твердого тела. Если отдельные частицы твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкости такие связи отсутствуют. В процессе движения изменяются во времени как взаимные положения жидких частиц, так и их форма. Положение жидкой частицы определяется координатами некоторой точки, выбранной произвольно в пределах частицы. Эта точка называется полюсом.

Различные точки частицы имеют различные скорости, поэтому под скоростью жидкой частицы понимают скорость выбранного полюса. В общем случае движение жидкости можно считать определенным, если известны движения всех частиц, т.е. положение каждой частицы задано как функция времени.

Существуют два способа описания движения жидкости, разработанные, соответственно, Лагранжем и Эйлером.

Способ Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например, при расчете волновых движений.

Способ Эйлера применим и удобен для большего круга задач, решаемых в технической гидромеханике. В этом способе движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторого неподвижного участка, выбранного в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этого участка, определяемой координатами х, у, z, находится частица жидкости, имеющая некоторую скорость V (скорость полюса). Эта скорость называется мгновенной местной скоростью.

Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей изменяется во времени и по координатам:

V_x = f (x, y, z, t);

V_y = f (x, y, z, t); (3.1)

V_z = f (x, y, z, t).

Переменные х, у, z и t называются переменными Эйлера.

Течение жидкости может быть установившимся (стационарным) или неустановившимся (нестационарным).

При установившемся движении течение жидкости, неизменное во времени, т.е. время t в уравнениях (3.1) отсутствует.

Векторными линиями поля скоростей является линия тока.

Линия тока  кривая в потоке движущейся жидкости, в каждой точке которой в данный момент времени вектор местной скорости направлен по касательной в этой точке (рис.3.1).

Как следует из определения, составляющие скорости, нормальные к линии тока, в любой точке этой линии равны нулю. Уравнение линии тока определяется из условия совпадения направления касательной к линии тока с направлением вектора местной скорости в каждой точке.

Направляющие косинусы (косинусы углов касательной к линии тока с осями координат) равны

и , (3.2)

где и - проекции элемента линии тока на оси координат.

Рис. 3.1. Схема к определению линии тока

Направляющие косинусы вектора скорости равны

. (3.3)

Тогда на линии тока имеем

(3.4)

или

. (3.5)

Отсюда, дифференциальные уравнения линий тока для данного момента времени

. (3.6)

Здесь t рассматривается как параметр, имеющий заданное значение.

Для установившегося движения жидкости уравнение линии тока имеет вид

. (3.7)

Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.

Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверх­ность, называемая трубкой тока.

Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.

При стремлении поперечных размеров элементарной струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока. В любой точке трубки тока в данный момент времени проходит единственная линия тока.

Из определения линии тока следует, что ни одна частица жидкости ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Трубка тока, таким образом, является как бы непроница­емой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоя­тельный элементарный поток.

Живым сечением струйки называется сечение, нормальное к каждой линии тока в пределах трубки тока.

В силу малости живого сечения элементарной струйки местные скорости жидкости в его пределах можно считать одинаковыми.

При изучении движения жидкости используются также понятия смоченный периметр и гидравлический радиус.

Смоченным периметром называется длина линии, по которой жидкость в живом сечении соприкасается с твердыми поверхностями, ограничивающими поток.

Смоченный периметр для напорного потока равен длине всего периметра сечения. Под напорным потоком здесь понимается такой поток, который ограничен твердыми поверхностями. Примером его может служить поток в трубе, все сечение которой заполнено движущейся жидкостью и стенки которой испытывают давление со стороны потока, отличающееся от давления окружающей среды.

В безнапорных потоках смоченный периметр составляет некоторую часть полного периметра. Примером безнапорного потока является поток в реке или канале, а также в трубе, работающей неполным сечением.

Рис. 3.2. Схемы безнапорных потоков

Для получения сопоставимых оценок потоков разной конфигурации и возможности описывать их едиными формулами используется понятие гидравлического радиуса.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения S к смоченному периметру χ

. (3.8)