- •Гидравлика (курс лекций) введение
- •1.1 Жидкости и их физические свойства
- •1.2 Модели жидкости
- •1.3 Силы, действующие в жидкости
- •Плотность распределения касательных сил
- •Контрольные вопросы
- •2.1. Гидростатическое давление и его свойство
- •Уравнения равновесия жидкости, заключенной в тетраэдре, в проекциях на оси координат имеют вид
- •2.2. Основное уравнение гидростатики
- •2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
- •2.4. Решение дифференциальных уравнений равновесия жидкости для ряда частных случаев
- •2.4.1. Равномерное вращение сосуда с жидкостью
- •2.4.2. Прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением
- •После интегрирования получим .
- •2.4.3. Равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 3. Кинематика жидкости. Общие положения и определения. Расход. Уравнение расхода. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении. Ускорение жидкой частицы
- •3.1. Общие положения и определения
- •3.2. Расход. Уравнение расхода
- •3.3. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении
- •Угловая скорость будет
- •Дифференциальные уравнения вихревых линий
- •Тогда согласно (3.13) получим
- •3.4. Ускорение жидкой частицы Ускорение жидкой частицы можно представить в виде
- •Контрольные вопросы
- •3.1 Динамика невязкой жидкости
- •3.2 Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •По аналогии с этим для элемента 2-2' получим
- •Тогда работа силы тяжести будет
- •Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, можем записать
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости
- •Подставим эти выражения в уравнения вихревой линии
- •4.3. Уравнение бернулли для элементарной струйки невязкого газа
- •Отсюда . Тогда решение интеграла имеет вид:
- •Контрольные вопросы
- •Динамика вязкой жидкости
- •Напряжения в движущейся вязкой жидкости
- •5.2. Уравнение бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости при установившемся движении
- •Т.К. Определитель равен нулю из-за пропорциональности первой и третьей строк (см. Уравнение (4.15)). После интегрирования будем иметь
- •Если из массовых сил действует только сила тяжести, получим
- •5.3. Уравнение бернулли для потока при установившемся движении вязкой жидкости
- •5.3.1. Удельная энергия потока
- •Далее можем записать
- •Расход жидкости через живое сечение потока
- •5.3.2. Уравнение бернулли для потока
- •7.1. Режимы течения жидкости в трубах. Опыты рейнольдса
- •6.4. Ламинарное течение
- •Решая совместно (6.26) и (6.21), получим
- •Сопоставляя (6.27) и (6.28), получим , т.Е. Эпюра угловых скоростей частиц аналогична эпюре касательных напряжений.
- •6.4.2. Начальный участок ламинарного течения
- •6.4.3. Ламинарное течение в зазоре
- •Тогда и формула закона распределения скоростей по живому сечению будет иметь вид
- •Тогда формула (1.18) для данного случая примет вид и после интегрирования будет
- •Тогда закон распределения скоростей имеет вид
- •Б) направление движения стенки противоположно течению жидкости (рис.6.10, б).
- •Если поршень расположен в цилиндре с эксцентриситетом е, то зазор а будет переменной величиной (рис.6.11,б):
- •6.5. Турбулентное течение
- • Ламинарный подслой; 2 переходный слой;
- •3 Турбулентное ядро
- •Контрольные вопросы
- •6.6. Местные гидравлические сопротивления
- •Тогда исходное выражение уравнения Бернулли примет вид
- •Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении с поправкой на начальный участок, а также формулу Вейсбаха, выражение можно представить в виде
- •5.4. Общие сведения о гидравлических потерях
- •Контрольные вопросы
- •7.1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре.
- •В данном случае имеем
- •Множитель называется коэффициентом скорости.
- •Из выражения (7.5) коэффициент расхода равен
- •Исходя из этого уравнения, скорость истечения составит
- •7.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •7.3. Истечение жидкости из резервуара при переменном напоре
- •Основной задачей, решаемой в этом случае, является определение времени опоражнивания резервуара от уровня н1 до н2.
- •Означает, что с уменьшением z объем вытекшей жидкости увели-чивается; dz - изменение уровня в резервуаре за время dt;
- •Отсюда имеем .
- •Контрольные вопросы
По аналогии с этим для элемента 2-2' получим
. (4.3)
Тогда работа силы тяжести будет
, (4.4)
или имея в виду уравнение постоянства расхода, можем записать
. (4.5)
В. Приращение кинетической энергии участка струйки. Чтобы определить приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема l'-2' вычесть кинетическую энергию объема 1-2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема l'-2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 1-1'и 2-2', сила тяжести которых равна .
Таким образом, приращение кинетической энергии равно
. (4.6)
Сложив работу сил давления (4.1) и силы тяжести (4.2) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии, получим
. (4.7)
Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, можем записать
. (4.8)
Произведя перегруппировку членов уравнения по сечениям струйки, получим
. (4.9)
Это уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.
Анализируя полученный результат, можем отметить, что с двумя членами уравнения Бернулли мы уже знакомы. Это геометрический (z) и пъезометрический (p/pg) напоры, сумма которых является полным напором в любой точке объема покоящейся жидкости.
Третий член уравнения вида имеет также линейную размерность и называется скоростным напором, а трехчлен вида полным напором.
Уравнение Бернулли (4.9) записано для двух проивольно взятых сечений элементарной струйки и выражает равенство полных напоров в этих сечениях.
Таким образом, имеем: для идеальной движущейся жидкости полный напор есть величина постоянная вдоль струйки.
Поскольку трехчлен уравнения Бернулли, как и все его составляющие, имеет линейную размерность, то приведенный вывод отражает геометрический смысл уравнения Бернулли и может быть представлен графически. Примером, иллюстрирующим это положение, может служить график, приведенный на рис.4.2.
Рис.4.2. График изменения напоров вдоль струйки
идеальной жидкости
На графике показано изменение всех трех напоров (высот) вдоль струйки. На участке струйки между сечениями 1 и 2 диаметр струйки не изменяется. Поэтому не меняется и скорость движения жидкости и, как следствие этого, постоянен скоростной напор.
На участке от сечения 2 до сечения 3 струйка плавно сузилась, исходя из уравнения расходов (3.11) скорость жидкости будет возрастать пропорционально уменьшению диаметра струйки.
Так на графике в сечении 3 диаметр струйки стал в два раза меньше, чем на участке 1-2, т.е. d2 = 0,5d1. Как следствие этого скорость жидкости в сечении 3 увеличится в 4 раза, а скоростной напор в 16 раз, а сечение 5 вновь стало равно сечению 1.
Штриховой линией показана пьезометрическая линия при увеличении расхода в раз, вследствие чего скоростные напоры увеличиваются в 2 раза, а в узкой части струйки (между сечениями 3 и 4) давление становится меньше атмосферного.
Уравнение Бернулли можно записать в другой форме. Умножив все составляющие уравнения (4.4) на ускорение g, получим
. (4.10)
Проанализируем размерности каждого члена этого уравнения.
.
Видно, что эта составляющая представляет собой работу (энергию) сил давления, приходящуюся на единицу массы жидкости, т.е. удельную работу сил давления.
Составляющая , очевидно, представляет собой удельную потенциальную энергию (энергию положения), т.к. частица жидкости массой , находясь на высоте , обладает энергией положения, равной .
Составляющая представляет собой удельную кинетическую энергию, т.к. для той же частицы массой кинетическая энергия составит .
Таким образом, трехчлен уравнения Бернулли представляет сумму удельных энергий частиц жидкости в рассматриваемом сечении. Отсюда, энергетический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать так: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия жидкости в любом сечении струйки является постоянной величиной.
Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости.
Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, давления и кинетическая энергия. Первая и третья формы механической энергии известны из механики и они в равной степени свойственны твердым и жидким телам.
Энергия давления является специфической для движущейся жидкости. Ее легко преобразовать в механическую работу.
Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является гидравлический цилиндр (рис.4.3).
Рис.4.3. Гидравлический цилиндр
При перемещении поршня влево жидкость должна преодолеть сопротивление движению R. Это произойдет, если в левой полости гидроцилиндра будет избыточное давление р, достаточное, чтобы создать усилие
, (4.11)
где S – рабочая площадь поршня.
На перемещение поршня на ход, величиной L, будет затрачена работа .
Масса жидкости, которую необходимо подвести в гидроцилиндр для совершения этой работы, равна массе жидкости в объеме цилиндра:
, (4.12)
где - плотность рабочей жидкости.
Следовательно, работа, приходящаяся на 1 кг массы жидкости (удельная работа), составит
. (4.13)