13. Дайте определение макроэкономической производственной функции. Охарактеризуйте основные свойства производственных функций и основные характеристики производственных факторов функции Кобба-Дугласа.

При математическом моделировании взаимосвязь между факторами производства и его результатами отражают с помощью производственной функции (ПФ). ПФ можно рассматривать в виде "чёрного ящика", преобразующего входы (ресурсы) в выход (объёмы производства) экономического объекта.

В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата -валовой выпуск Y.

Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ.

Y = F (K, L).

Мультипликативная ПФ третьего вида носит название функции Кобба- Дугласа по имени учёных Ч. Кобба и П.Дугласа, рассчитавших производственную функцию для экономики США. ПФ Кобба- Дугласа является моделью экстенсивного способа развития:

Y = c*K^a*L¹-^{a………………………………………………………}(4)

Отметим основные свойства функции (4).

1. При отсутствии ресурсов нет выпуска продукции. В процессе производства должны принимать участие оба фактора

Y = F (0, 0) = 0; Y = F (K, 0) = 0; Y = F (0, L) = 0.

2. С ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объём производства растёт.

Первые частные производные ПФ по факторам положительны.

d F (K, L) > 0; d F (K, L) > 0.

d K d L

3. Вторая частная производная отрицательна.

d² F (K, L) < 0; d² F (K, L) < 0.

d K² d L²

Это означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост даёт уменьшающийся прирост продукции (закон убывающей эффективности). Например, при многостаночной организации производства значительное увеличение числа станков, приходящихся на одного рабочего в условиях неизменной технологии, уменьшает эффективность использования оборудования.

14. Охарактеризуйте различные виды макроэкономических производственных функций и свойства каждого вида.

Наибольшее применение в теоретическом и прикладном макроэкономическом анализе имеют два вида макроэкономических производственных функций (МПФ): функция Кобба-Дугласа и функция с постоянной эластичностью заменяемости ресурсов (ПЭЗ). Эти функции обладают преимуществами: 1) они хорошо экономически интерпретируются; 2) имеют небольшое число параметров, что облегчает их статистическую оценку; 3) соответствующие им показатели экономического роста, эффективности, интенсификации имеют удобную аналитическую форму.

Общими свойствами функций Кобба-Дугласа и ПЭЗ являются 1) однородность и 2) постоянная эластичность заменяемости ресурсов.

1)

При увеличении затрат всех ресурсов в раз, объем производства возрастает в раз. Показатель степени однородности характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат.

2) Коэффициент эластичности замены ресурсов характеризует отношение относительного изменения затрат ресурсов к относительному изменению предельной нормы эквивалентной заменяемости этих ресурсов:

Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При не существует никаких границ для взаимозаменяемости ресурсов. При возможность замены отсутствует. Функция Кобба-Дугласа:

(1)

где – промышленное производство;

– численность рабочей силы;

– основной капитал.

Динамическая функция Кобба-Дугласа:

(2)

– функция, учитывающая влияние всех непосредственно не учитываемых факторов.

,

где – параметр масштабирования и начальной эффективности производства; – непрерывный темп прироста.

Для статической модели обычно принимается , но для динамической модели типично соотношение , отражающее рост общей эффективности производственных факторов в динамике. Если сумма , то можно осуществить нормировку коэффициентов эластичности:

Тогда получаем:

(3)

Логарифмируя, затем дифференцируя по , получаем соотношение между темпом прироста конечного продукта и производственных факторов:

(4)

Таким образом, темп прироста конечного продукта есть сумма автономного темпа и взвешенной суммы темпов прироста производственных факторов.

Для данного вида производственных функций выпуск продукции невозможен при отсутствии хотя бы одного ресурса.

1. Производственные функции с постоянной эластичностью заменяемости ресурсов.

Функции этого класса имеют следующий вид:

(5)

где , , , – положительные параметры.; – количество -го фактора (ресурса).

Динамическая функция с постоянной эластичностью заменяемости ресурсов имеет вид

(6)

Здесь , – параметры степени трудоемкости и фондоемкости макротехнологии; – параметр, связанный с эластичностью замещения ресурсов; – коэффициент, характеризующий интенсификацию производства (степень однородности функции).

Макроэкономическая функция ПЭЗ по сравнению с функцией Кобба-Дугласа обладает двумя преимуществами: 1) позволяет более явно разделить влияние НТП между производственными факторами; 2) эластичность заменяемости ресурсов не задается априорно равной единице, а «оценивается».

2. Производственные функции с постоянными пропорциями.

В литературе данный класс производственных функций называют функциями затрат-выпуска, а также «Функциями Леонтьева». Производственные функции с постоянными пропорциями имеют следующий вид:

(7)

где , , ,...., – положительные параметры.

Основное отличие производственных функций этого типа от рассмотренных ранее — наличие единственной рациональной структуры производственных ресурсов, задаваемой вектором . Если вектор ресурсов удовлетворяет соотношению:

(8)

где – неотрицательный скаляр, то ресурсы используются рационально, а выпуск продукции определяется соотношением:

(9)

Всякое отклонение затрат ресурсов от этой структуры приводит к нерациональному использованию части ресурсов.

Здесь замещение недостающего ресурса невозможно не только тогда, когда этот ресурс полностью отсутствует, но при любых количествах ресурса. Это позволяет ввести понятие лимитирующего ресурса, на котором достигается минимум производственной функции (7). Лимитирующих ресурсов может быть несколько. Увеличение их количества приводит к увеличению выпуска продукции, остальные ресурсы являются избыточными — увеличение их количества не приводит к увеличению выпуска продукции. Если выполняется соотношение (8), то все ресурсы являются лимитирующими и избыточных ресурсов нет.

Для производственной функции (7) производство невозможно при отсутствии хотя бы одного ресурса.

3. Линейные производственные функции.