- •Лекция 6.
- •1. Основные понятия и теоремы.
- •2. Повторные независимые испытания.
- •2. 1. Биномиальный закон распределения вероятностей.
- •2. 2. Локальная теорема Лапласа.
- •2. 3. Теорема Пуассона.
- •2. 4. Интегральная теорема Лапласа.
- •3. Дискретные случайные величины и их характеристики.
- •4. Непрерывные случайные величины и их характеристики.
- •5. Закон больших чисел.
2. 3. Теорема Пуассона.
При малых значениях вероятности р формула Лапласа дает значи-
тельную погрешность. В этом случае для вычисления вероятности
применяется теорема Пуассона:
Если вероятность р наступления события в каждом испытании пос-
тоянна и близка к нулю, то вероятность наступления этого события
к раз при n испытаниях определяется приближенным равенством
,
где .
Пример. Птицеферма отправила на базу 10000 яиц. Вероятность то-
го, что каждое яйцо повредится в пути, равна 0,0002. Найти вероятность
того, что на базе в отправленной партии яиц окажется три поврежденных
яйца.
Решение. По условию задачи n = 10000; m = 3; р = 0,0002 – мало.
Для вычисления вероятности применим асимптотическую
формулу Пуассона. В нашем случае .
Тогда
.
2. 4. Интегральная теорема Лапласа.
Справедлива следующая теорема, называемая интегральной теоре-
мой Лапласа:
Если вероятность р (0<p<1) наступления события А в каждом испы- тании постоянна, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от к1 до к2 раз вычисляется по приближенной формуле
,
где − функция Лапласа,
, .
Значения функции Лапласа приводятся в Приложениях, эта функция
нечетная, то есть Ф(− х) = − Ф(х), при х>5 принимается Ф(х) = 0,5.
Пример. Вероятность того, что семя не взойдет, равна 0,2. Найти ве-
роятность того, что среди случайно отобранных 400 семян невсхожих ока-
жется от 70 до 100 семян.
Решение. По условию задачи n = 400; k1 = 70; k2 = 100; p = 0,2; q = 0,8.
Находим ; .
Искомая вероятность
.
3. Дискретные случайные величины и их характеристики.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает
конечное множество значений или счетное множество значений.
Дискретная случайная величина считается заданной, если известны
вероятности, с которыми она принимает соответствующие числовые значе-
ния.
Пример. Случайная величина Х – число очков от одного до шести, выпадаемых при подбрасывании игральной кости. При этом известны ве-
роятности выпадения различного числа очков при одном подбрасывании,
все они равны . Запишем это в виде следующей таблицы:
Таблица 1
-
Х
1
2
3
4
5
6
р
Этой таблицей задан закон распределения случайной величины Х.
В общем случае закон распределения случайной величины Х задает-
ся таблицей
Таблица 2
-
Х
…
р
…
Так как события х1, х2, …, хn образуют полную систему, то .
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины,
заданной приведенной в табл. 2 законом распределения, называется число
М(Х) = . (1)
Дисперсией D(X) дискретной случайной величины называется мате-матическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математи- ческого ожидания, то есть . (2)
Квадратный корень из дисперсии называется средним квадра- тическим отклонением , то есть
. (3)
Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Х 40 42 41 44
р 0,1 0,3 0,2 0,4 .
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(Х); 3) среднее
квадратическое отклонение σ(Х).
Решение. 1) М(Х) =
= 40∙0,1 + 42∙0,3 + 41∙0,2 + 44∙0,4 = 42,4.
2) По формуле (2) имеем:
D(Х) = (40 – 42,4)2∙0,1 + (42 – 42,4)2∙0,3 + (41 – 42,4)2∙0,2 + (44 – 42,4)2∙0,4 =
= 2,04.
Дисперсию D(X) можно вычислить другим способом, исходя из ее
следующего свойства: дисперсия D(X) равна разности между математичес-
ким ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математи-
ческого ожидания М(Х), то есть .
Для вычисления составим закон распределения величины Х2:
Х2 402 422 412 442
Р 0,1 0,3 0,2 0,4.
Тогда и
.
3) .