- •Лекция 6.
- •1. Основные понятия и теоремы.
- •2. Повторные независимые испытания.
- •2. 1. Биномиальный закон распределения вероятностей.
- •2. 2. Локальная теорема Лапласа.
- •2. 3. Теорема Пуассона.
- •2. 4. Интегральная теорема Лапласа.
- •3. Дискретные случайные величины и их характеристики.
- •4. Непрерывные случайные величины и их характеристики.
- •5. Закон больших чисел.
4. Непрерывные случайные величины и их характеристики.
Случайная величина называется непрерывной, если ее значения цели-
ком заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал числовой
оси.
Пример. Температура Х воздуха, меняющаяся в течение суток от
12,5◦ до 23,4◦ - непрерывная случайная величина.
Для характеристики непрерывной случайной величины Х вводится ее
функция распределения , то есть вероятность того, что значение величины Х будет меньше числа х. Эта функция обладает следующими свойствами:
1. .
2. − неубывающая функция, то есть если , то
3. , .
4. Вероятность того, что значение Х окажется на заданном отрезке
, определяется формулой
Производная от функции распределения F(x) называется дифферен-
циальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х и
обозначается , то есть .
Поэтому F(x) называют интегральной функцией распределения.
Функция называется плотностью распределения случайной ве-
личины Х .
Эта функция обладает следующими свойствами:
Функция - неотрицательна.
.
.
.
Законы распределения непрерывных случайных величин задаются,
как правило, их дифференциальными функциями распределения. На прак-
тике чаще других встречается нормальный закон распределения (закон
Гаусса), определяемый функцией , где а – математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х
на отрезке [a;b] называется среднее ожидаемое значение Х, определяемое
формулой (4)
Дисперсия непрерывной случайной величины Х на отрезке [a;b] равна . (5)
Среднее квадратическое отклонение
(6)
Пример. Случайная величина Х задана интегральной функцией рас-
пределения
.
Найти: 1) вероятность попадания случайной величины Х в интервал
(0,5; 1,5); 2) дифференциальную функцию распределения ;
3) математическое ожидание М(Х); 4) дисперсию D(X).
Решение. 1). Искомая вероятность равна приращению интегральной
функции на заданном интервале:
.
2). Найдем дифференциальную функцию распределения по
формуле :
.
3) Математическое ожидание случайной величины Х находим по
формуле (4):
.
4) Дисперсию D(X) определим по формуле (5):
.
Важнейшим из распределений непрерывной случайной величины является нормальное распределение, задаваемое дифференциальной функ-цией , где а – математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение случайной величины.
График функции нормального распределения ( кривая Гаусса) приведен на рис. 2.
Рис. 2
Дифференциальная функция f(x) положительна, имеет максимум
.
Широкое распространение нормального закона распределения объяс-няет теорема Ляпунова, по которой случайная величина Х принимает оп-ределенное значение под воздействием большого числа независимых ма-лых причин, то есть является суммой большого числа независимых случай-ных величин. Закон распределения такой случайной величины близок к нормальному.
Для определения вероятности того, что случайная величина Х, имею-щая нормальное распределение, принимает значения в интервале , применяется формула
. (7)
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной слу-чайной величины Х от ее математического ожидания а не превосходит по-жительного числа ε, вычисляется по формуле
. (8)
Пример 2. Длина детали представляет собой нормально распреде-ленную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и сред-ним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм.
Решение. 1) Пусть Х – длина детали. Искомую вероятность найдем по формуле (4), положив в ней а = 40, α = 34, β = 43, σ = 3.
Тогда
.
2) Искомую вероятность найдем по формуле (8):
.
В статистической практике часто используется правило трех сигм
( ), состоящее в следующем: практически достоверно, что при испыта-нии абсолютная величина отклонения нормально распределенной случай-ной величины Х от ее математического ожидания не превзойдет .
Действительно, из формулы (8) имеем:
.