2. Повторные независимые испытания.

Событие А называется независимым в данной системе испытаний,

если вероятность этого события в каждом испытании не зависит от исхо-

дов других испытаний.

Серию повторных независимых испытаний, в каждом из которых со-

бытие А имеет одну и ту же вероятность р, не зависящую от номера испы-

тания, называется схемой Бернулли.

2. 1. Биномиальный закон распределения вероятностей.

Пусть проводится серия n независимых испытаний, в каждом из ко-

торых событие А наступает с постоянной вероятностью р. Вероятность

того, что событие А наступит ровно к раз, вычисляется по формуле

Бернулли

, (2)

где − число сочетаний из n элементов по к;

− вероятность наступления события .

Формула (2) называется биномиальной, так как ее правая часть есть

(к + 1) − й член бинома Ньютона

=

= ,

то есть получаем биномиальное распределение вероятностей числа появ-

лений события А при n независимых испытаниях.

Пример 1 . Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти

вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех

семян.

Решение. Пусть событие А – из четырех семян взойдут не менее трех;

событие В – из четырех семян взойдут три семени; событие С – из четырех

семян взойдут четыре семени.

По теореме сложения вероятностей имеем .

Вероятности и вычислим по формуле Бернулли:

;

.

Искомая вероятность .

График, характеризующий биномиальный закон распределения ве-

роятностей на примере вычисления вероятностей выпадения герба при 16

подбрасываниях монеты, представлен на рис. 1.

Рис. 1.

Этот график называется многоугольником распределения вероятнос-

тей.

Значение к₀ = 8, при котором вероятность максимальна, называется наивероятнейшим числом появления события (выпадение герба) в n (n = 16) независимых испытаниях.

Значение к₀ определяется из приближенного равенства

.

Пример 2. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна

0,9. Каково наивероятнейшее поражение цели при 20 выстрелах?

Решение. , то есть наиболее вероятно, что цель будет поражена 18 раз.

2. 2. Локальная теорема Лапласа.

При больших значениях n вычисление вероятности по формуле Бернулли затруднительно. В этом случае применяют приближенную формулу Лапласа:

,

где функция − функция вероятностей и .

Здесь имеют тот же смысл, что и в формуле Бернулли.

Пример. Рабочий за смену изготовил 625 деталей. Вероятность того,

что деталь окажется первосортной, равна 0,64. Какова вероятность того,

что деталей первого сорта будет 370 штук?

Решение. По условию задачи n = 625, к = 370, р = 0,64, q = 0,36.

Так как n = 625 – велико, то для вычисления воспользуемся формулой Лапласа.

Найдем значение х, определяемое данными задачи:

.

По таблице Приложений находим .

Искомая вероятность .