1. Матрицы, виды, действия над ними.

2. Произведение матриц, свойства, элементарные преобразования матриц.

3. Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителя 2-го порядка. Вычисление определителя 3-го порядка. Правило Саррюса.

4. Свойства определителей не связанные с понятием алгебраического дополнения.

5. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке.

6)Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица( свойства, вычисление).

7)Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.

8) СЛАУ, совместная система, определенная система, понятие «решить систему», общее и частное решение СЛАУ. Матричная форма записи СЛАУ. Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы.

Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.

При решении систем уравнений методом обратной матрицы используются вычисления определителя матрицы (Для вычисления матрицы, обратной к основной матрице системы уравнений). Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, тоесть матрица должна быть невырожденной.

9) СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей. Формулы Крамера.

Невырожденная матрица (система) — квадратная матрица (система),определитель которой D=detА не равен нулю.

Квадратная матрица — матрица, у которой число строк равно числу столбцов.

10) Метод Гаусса для решения СЛАУ.

11) Совместность СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности СЛАУ.

12) Однородная система линейных уравнений.

13) Понятие вектора. (длина, единичный,нуль- вектор). Равные, противоположные, орт-вектор)

14) Коллинеарные векоры (сонаправленные, противоположнонаправленные) Признак коллинеарности, компланарные вектора.

Признаком коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат

15. Сложение векторов. (правило треугольника, параллелограмма, многоугольника). Разность векторов, умножение вектора на число.

15. Базис векторного пространства. Разложения вектора по ортам координатных осей. Понятие координат вектора.

Называется такая система векторов,которая:

1. Задана в определенном порядке

2. Линейно не зависима

3. Любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов.

Числа стоящие перед базисными векторами называются координатами вектора в данном базисе.

Определение. Базисом векторного пространства   называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства  .

                         

                                      рис.2.

– базис  .

Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве   по определению, в пространстве   двавектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, впространстве   три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.

15. Координаты и Модуль вектора,заданные координатами начала и конца. Действия над векторами,заданными своими координатами (сложение, вычитание, умножение на число, равенство, коллинеарность).

15. Направляющие косинусы векторов. Равенство их связывающее.

15. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты.

15. Угол между векторами. Признак перпендикулярности векторов.

15. Векторное произведение векторов и его свойство. Выражение векторного произведения через координаты. Геометрические приложения векторного произведения.

15. Смешанное произведение векторов и его свойство. Выражение смешанного произведения через координаты. Геометрические приложения смешанного произведения.

15. Прямоугольная декартова система координат. Понятие линии. Полярная система координат. Выражение полярных координат через прямоугольные и наоборот.

15. Понятие ГМТ плоскости, примеры.

Геометрическое место точек - это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.

Пример 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Пример 2. Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (одна из этих точек - А).

15. Нахождение координат середины отрезка. Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

Координаты середины отрезка в пространстве

Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2). Тогда серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где 

26) Каноническое уравнение прямой (вывод). Параметрическое задание прямой. Уравнение прямой через две точки (вывод).

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где   — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

27)

Общее уравнение прямой и его частные случаи. Условия параллельности и перпендикулярности прямых заданных в общем виде. Направляющий и нормальный вектор прямой. Нахождение их координат из общего уравнения прямой.

Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     

 Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

 Найти уравнение прямой с направляющим вектором  (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

 

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

 

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

28) Уравнение прямой в отрезках (вывод) Уравнение прямой с угловым коэфицентом. Геометрический смысл углового коэффицента прямой.

29) Уравнение прямой через точку с данным угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных с угловым коэффициентом.

Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂

В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

30) Уравнение прямой в полярной системе координат. Уравнение прямой через точку с данным нормальным вектором.

31) Нормальное уравнение прямой. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя параллельными прямыми.

Расстоянием между параллельными прямыми называется часть перпендикуляра к этим параллельным прямым заключенная между ними

32) Определение и каноническое уравнение эллипса. Свойства эллипса.

Свойства:

1. точки пересечения эллипса с осями,называются вершинами.

(большая ось- фокальная и малая ось)

2. из канонического уравнения следует что

Эллипс лежит внутри прямоугольника со сторонами 2a и 2b.

3.Т.к. уравнение эллипса содержит только квадраты переменных то, если точка с координатами (x;y) принадл. Э, то точка с коорд. (-x;y) и (x;-y) и(-x;-y) принадлежат Э. след. Эллипс симметричен относительно Ox, Oy, начала координат.

4. Эксцентриситет эллипса.

Это отношение фокусного расстояния к длине большой оси

Этот показатель характеризует форму эллипса

Чем меньше Е тем Эллипс больше приближается к окружности.

Если Е=0 эллипс превращается в окружность x^2+y^2=a^2

4. Директрисы эллипса.

Это прямые которые перпендикулярны фокальной оси и находятся на расстоянии a/E от ее центра x= +/- a/E

R1+R2=2a

R1,R2- фокальные радиусы

Для фокальных радиусов имеют место формулы

5. Основное свойство.

Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная ексцентриситету.

33) Определение и каноническое уравнение гиперболы. Свойства гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Свойства :

Гипербола лежит вне прямоугольника со сторонами 2a и 2b.

4. Эксцентриситет гиперболы.

E=c/a E>1

B^2=c^2-a^2

Чем меньше E тем меньше отношение е полуосей,тем больше вытягивается прямоугольник, ветви приближаются к осям,сжаты.

5.

Директрисы

6. Основное свойство.

34) Определение и каноническое уравнение параболы. Свойства параболы.

35) Основное свойство кривой второго порядка.

36) Понятие функции. Область определения и область значения. График функции.

37) Основные свойства функции. (четность/ нечетность, монотонность, периодичность, ограниченность). Обратная функция. Сложная функция.

38. Основные элементарные функции и их графики.

38. Понятие окрестности точки. Предел функции (по Коши). Основные теоремы о пределах.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. 

Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x₀ на числовой прямой (иногда говорят ε-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x₀ не более чем на ε, т.е. O_ε(x₀) = {x: | x − x₀ | < ε}.