43. Вероятностный смысл математического ожидания дискретной св.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m₁ раз значение x_l, m₁ раз значение х₂, ..., m_к раз значение х_к, причем m₁+m2+…+mk=n. Тогда сумма всех значений, принятых X,равна

х₁m₁+x₂m₂+...+х_km_к.

Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

= (х₁m₁+x₂m₂+ ...+х_кm_к)/n,

или

= x₁(m₁/n) + х₂(m₂/n)+... +х_к(m_к/n). (*)

Заметив, что отношение m1/n — относительная частота W₁ значения x_l, m2/n — относительная частота W₂ значения х₂ и т.д., запишем соотношение (*) так:

= x₁W_l + x₂W₂ + ... + x_kW_k. (**)

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероят- ности появления события:

W₁ p_l, W₂ p₂,… , W_k p_k.

Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

x₁p_l + x₂p₂ + … + x_kp_k

Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х). Итак,

M(X).

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

44. Понятие дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной св, их вероятностный смысл.

Пусть X—случайная величина и М (X)—ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X — М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения X известен:

X х₁ x₂ … х_n

Р p₁ P₂ … p_n

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х₁— М (X), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение х₁. Вероятность же этого события равна р₁; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х₁ — М (X), также равна р₁. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

X —М(Х) х₁ — М (X) x₂ — М(Х) ... х_n—М (X) p p₁ р₂ ... р_n

Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[Х — М (Х)] = 0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

Дисперсия, таким образом, имеет очень простой смысл – это средний квадрат отклонения от среднего значения.

45. Свойства дисперсии дискретной св.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D (С) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (СХ) = C²D (X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D{X + Y)=D(X) + D(X).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной вели- чины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(C + X) = D(X).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X — Y) = D(X) + D(Y).