5. Непосредственный подсчет вероятности. Элементы комбинаторики.

1. Перестановками называют комбинации, составленные из одних и тех же элементов множества, отличающихся только порядком расположения .

2. Размещениями называются комбинации, составленные из – различных элементов по – элементам, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

3. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n- различных элементов по m – элементам, которые отличаются хотя бы одним элементом.

4. Принцип перечисления: N= n₁*n₂*…*n_m

6. Теорема сложения («или»)

• Вероятность появления суммы событий А и В равна сумме вероятностей появления событий А и В за вычетом вероятности их совместного появления. P(A)+P(B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

Следствие: вероятность появл. суммы двух несовместн. событий = сумме вероятностей их появления

7. Условная вероятность (теорема «и»)

- безусловная вероятность, а - условная вероятность.

Условной вероятностью (или ) называют вероятность

события , вычисленную в предположении, что событие наступило.

, P(В) 0.

условная вероятность - Вероятность существования А при условии, что произошло В в том же эксперименте,

Определяется через отношение двух безусловных вероятностей.

Свойства условной вероятности.

1. 

2. 

Доказательство:

• Теорема умножения (теорема «и»)

и

вероятность соместного появления соб. А и В = произвед. вероятн. соб. В и условн. вероятности А/В.

8. Зависимые и независимые события. События в совокупности

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события а и б называются независимыми. Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и) равна произведению вероятностей этих событий. События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них. События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных событий, независимы. Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

9. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может появиться вместе с одним из образующих полную группу попарнонесовместных событий Н₁,Н₂…Н_n называемых гипотезами, тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе

10. Формула Байеса

Формула Байеса применяется в случае, если:

1) событие А может произойти

2) Любые 2 события попарно несоместны

Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:

11. Независимые испытания. Формула Бернулли

Несколько опытов называются независимыми, если вероятность одного или иного из исходов каждого их опытов не зависит от того какие исходы имели другие опыты. Формула Бернулли

Формула Бернулли применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.