34. Коррекция с помощью ку с отставанием по фазе

а ) КУ с отставанием по фазе

ПФ имеет тот же вид, что и для КУ с опережением по фазе:

,

однако α>1.

Найдем сопрягающие частоты ₁=1/αT, ₂=1/T, причем ₂> ₁ .

Параметры КУ:

q₁=T, q₂=α, q₃=k₂, α>1,

Положим k₂=1.

ЛЧХ КУ с опережением по фазе L₂( ), φ₂( ) (см. рисунок ниже) представляют собой зеркальное отображение относительно оси частот ЛЧХ КУ с отставанием по фазе.

При этом φ₂(10 ₂)=-5^о (см. на рис. выше с учетом логарифмического масштаба частот).

Как видим, это устройство добавляет отрицательный сдвиг по фазе.

Параметры α и Т надо выбрать таким образом, чтобы система удовлетворяла заданным требованиям k* и γ*. Выберем k₁=k* для обеспечения требуемой точности. Точные ЛЧХ КУ с запаздыванием для k₂= α изображены на рисунке ниже.

б) Выбор параметров α и Т корректирующего устройства с отставанием по фазе.

1. Построить L₁( ) и φ₁( ) и проверить, удовлетворяет ли нескорректированная система требованиям, предъявляемым к запасу устойчивости по фазе. Если запас устойчивости γ₁=180 ^о +φ₁( _c) недостаточен, перейти к п.2.

2. Выбрать частоту среза _c* скорректированной системы, исходя из условия φ₁( _c*)=-π+γ*+5^о. При этом учитываем (см. п.3 ниже), что на данной частоте КУ создает дополнительный фазовый сдвиг φ₂( _c*)=-5^о, так что запас устойчивости скорректированной системы

γ=180 ^о +φ( _c*)=π+φ₁( _c*)+φ₂( _c*)= γ*

будет равен требуемому значению.

3. Выбираем параметр Т=10/ _c* из условия ₂=0,1 _c*, чтобы гарантировать, что КУ добавит только -5^о к результирующей ЛФЧХ скорректированной системы на частоте _c*.

4. Выбираем α=|W₁(j _c*)|, чтобы ЛАЧХ скорректированной системы пересекала ось частот при _c*. Действительно, при этом

L( _c*) =L₁( _c*)+L₂( _c*)=20lg|W₁(j _c*)|+20lg|W₂(j _c*)|=

=20lgα+20lg(1/α)=0.

Теперь можно найти ₁= ₂/α.

5. Используя L=L₁+L₂, φ=φ₁+φ₂, построим ЛЧХ скорректированной системы.

Здесь L₁, φ₁ – ЛЧХ нескорректированной системы

Так как k=k₁=k*, то вид L( ) в области низких частот удовлетворяет заданным требованиям к точности системы.

Если , то процедура выбора параметров заканчивается.

Достоинства:

1. Удалось обеспечить требуемое значение коэффициента усиления k=k* в области низких частот, уменьшает статическую ошибку.

2. Повышает запасы устойчивости.

3. _c* < _c – введение этого устройства повышает помехоустойчивость.

Недостатки:

1. Уменьшается полоса пропускания, следовательно, снижается быстродействие за счет того, что _c*< _c, затягивается переходный процесс.

2. Возникает проблема пи реализации КУ с отставанием по фазе с помощью RC-схемы, изображенной на рисунке ниже и описываемой ПФ

,

где

Дело в том, что при больших значениях Т, резистор R₁ должен иметь номинал, превышающий десятки Мом. Это большая величина, поэтому проектировщику не рекомендуется выбирать частоту ₂ КУ далее, чем на одну декаду левее частоты _c*.

35. Уравнение звена в символической форме.

Уравнение звена, полученное в результате линеаризации

(*),

где и - отклонения выхода и входа относительно состояния равновесия (рабочей точки), записывают в различном формате.

Введем в рассмотрение оператор дифференцирования , обладающий тем свойством, что его умножение на любую функцию x(t) = дифференцированию этой функции по времени: .

Для любого целого .

Обозначая ради простоты записи , представим уравнение (*) так:

(1),

тогда вводя операторные обозначения для производных входа и выхода, и затем вынося y и v за скобку, получаем операторную форму уравнения линейного звена в компактном виде

или еще короче (2), где

входной оператор

и выходной оператор

п редставляют собой операторные многочлены.

Пример. Рассмотрим вращающийся вал.

Введем следующие обозначения:

- скорость вращения вала, M(t) – суммарный момент, приложенный к валу. Пусть v(t) ~ M(t) - вход, а ~ y(t) – выход элемента.

Уравнение вала на основании второго закона механики (закона Ньютона) имеет вид: , где J – момент инерции вала. Заменяя на D , получаем уравнение вала в операторной форме .

Последнее уравнение представляет частный случай уравнения (2) для m=0, n=1.

Как видим, выходной оператор Д(D)=JD, а входной K(D)=1.

Очевидно, что уравнение элемента зависит от того, какие сигналы принимаются в качестве выхода и входа. Так, если момент вращения - входной сигнал, то, полагая, что ,

где - момент вязкого трения, h - коэффициент вязкого трения, то уравнение вала принимает другой вид или .

Отсюда Д(D)=JD+h, K(D)=1.

Наряду с операторной записью ДУ (1) в виде (2) будем использовать еще более компактную форму:

или y(t)=W(D)v(t) (3), где W(D) называется операторной передаточной функцией (ОПФ) или оператором звена.

Формально W(D) можно рассматривать как отношение двух многочленов от D: W(D)=K(D)/Д(D) (4) ,

которое условимся записывать, не производя никаких возможных сокращений. Запись (4) является символической и не дает решения ДУ (2), т.к. не определено, какой смысл имеет деление на операторный многочлен Д(D).