46. Критерий Найквиста для случая нейтрально-устойчивой разомкнутой системы.

Сущность критерия Найквиста в том, что он позволяет по виду АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. При этом АФХ разомкнутой системы может быть или получена расчетным путем из выражения для передаточной функции, или снята экспериментально.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы ,

так что АФХ равна . Рассмотрим новую функцию f(jω), связанную с соотношением . (14)

Здесь представляет собой годограф характеристического уравнения разомкнутой системы, а Д(jω) – замкнутой системы. АФХ нейтрально устойчивой разомкнутой системы начинается в бесконечности, т.е. характеристика не является замкнутой, что затрудняет применение критерия Найквиста. Чтобы распространить критерий Найквиста на этот случай, необходимо подробнее исследовать, как ведет себя АФХ при ω→0, т.е. в бесконечности. Вспомним, что АФХ разомкнутой системы получается из передаточной функции при р=jω. Изобразим р на комплексной плоскости (рис. 12).

Рис. 12

При изменении ω от 0 до ∞ функция р=jω меняется вдоль мнимой оси от 0 до +j∞. При ω=0 р находится в начале координат (р=0), благодаря чему выражение для ПФ и обращается в бесконечность, что затрудняет исследование АФХ. Это затруднение можно обойти следующим приемом. Рассмотрим некоторый другой закон изменения р такой, чтобы при р≠0 имело место р=jω, но при р→0 начало координат было исключено, как, например, показано на рис. 13.

Рис. 13 Следовательно, при всех конечных р (р≠0) имеем обычную АФХ . Однако при р→0 закон изменения р другой: р=rе^jψ, причем r→0, а ψ меняется от 0 до π/2. Следовательно, при р→0 .

При таком законе изменения р мы получим обычный вид АФХ для всех конечных значений ω, т.к. р=jω, и мы можем исследовать вид АФХ при р→0, т.е. в бесконечности.

Учитывая, что при р→0, r→0, а ψ меняется от 0 до π/2, получим W(р)= Rе ^–jνψ, где R = ∞, а νψ меняется от 0 до ν π/2. Следовательно, при р→0, а значит при ω →0, АФХ представляет собой дугу бесконечно большого радиуса, который описывает угол от 0 до νπ/2 в отрицательном направлении (дополнение). Например, при ν =1 имеем νπ/2= π/2. Из рис. 14 видно, что характеристика получилась замкнутой и к ней можно применить критерий Найквиста.

След-но, если разомкнутая система нейтральноустойчивая, то замкнутая система будет устойчивая, при условии, что АФХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса в ν четвертей окружности, не охватывает точку (-1, j0), где ν число нулевых корней характеристического ур. разомкнутой системы D(p)=0 (число интеграторов) или при условии, что диаграмма Найквиста разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса в 2ν четвертей окружности, не охватывает точку (-1, j0) (рис. 14.1).

Вопрос 47. Афх разомкнутой системы и ее предельные значения.

Математическое выражение для передаточной функции разомкнутой системы значительно проще, чем математическое выражение для передаточной функции замкнутой системы. Поэтому в теории автоматического управления во многих случаях оказывается целесообразным рассматривать передаточную функцию разомкнутой системы и по ее свойствам судить о свойствах замкнутой системы. С этой точки зрения важное значение имеет рассмотрение частотных характеристик разомкнутой системы.

По аналогии с АФХ звена, АФХ разомкнутой системы получается из выражения для ПФ разомкнутой системы W(p) путем замены р на j и обозначается W(j)

.

АФХ разомкнутой системы определяет ее реакцию на синусоидальный входной сигнал. Ее математическое выражение может быть представлено в показательной или алгебраической форме:

.

Отдельные величины, входящие в это выражение, определяют следующие частотные характеристики разомкнутой системы

R()=modW(j)=|W(j)| - амплитудная частотная характеристика;

=argW(j) – фазовая частотная характеристика;

U()=ReW(j) – вещественная частотная характеристика;

V()=JmW(j) – мнимая частотная характеристика.

АФХ разомкнутой системы строится на комплексной плоскости в координатах U,V при изменении w от 0 до ∞ (рис. 1). При отрицательных  АФХ может быть определена из соотношения

W(-j)=W^* (j),

аналогично соответствующему соотношению для АФХ звена.

Конкретный вид графика АФХ можем уточнить, рассмотрев общее выражение для передаточной функции:

,

тогда соответствующая ей АФХ будет равна

рис. 1

Рассмотрим характер W(j) при предельных значениях w, равных бесконечности и нулю.

При →∞ . Это следует из того, что степень многочлена К(р) не превосходит степени многочлена D(p),т.е. degD>degK, и, следовательно, при увеличении  знаменатель выражения для W(j) растет значительно быстрее, чем числитель.

При →0 поведение АФХ зависит от числа интеграторов.

Если ν=0, то .

Если ν≠0, то .

Значения W(j) при  →0 для различных ν удобно задать таблицей. Графики АФХ разомкнутой системы для различных значений ν приведены на рис. 2.


0 1 2 3 4	k -j∞ -∞ +j∞ +∞

Выражение L()=20lgR() есть амплитудно - частотная характеристика разомкнутой системы, выраженная в децибелах. Фазово-частотную характеристику φ() будем выражать в градусах или в радианах.

48 Робастная устойчивость

Если модель системы точно не определена (обычный случай), то необходимо обеспечить, по меньшей мере, номинальную устойчивость. Все, что было до сих пор сказано об устойчивости, основано на предположении, что линеаризованная модель объекта точно описывает систему в окрестности состояния равновесия. Так как все реальные системы являются нелинейными, то удобно рассматривать саму линейную аппроксимацию (линеаризованную модель) системы как обладающую модельной неопределенностью, так что модель, которую мы приняли для исследования устойчивости, является лишь номинальной моделью объекта. Все методы анализа устойчивости, прямые или косвенные, при использовании номинальной модели гарантируют только номинальную устойчивость.

Робастная устойчивость имеет отношение к устойчивости для всех моделей в рамках (пределах) модельной неопределенности. Робастная устойчивость может быть в принципе гарантирована, если условия устойчивости соблюдаются для всех возможных моделей неточно определенной системы. К сожалению, при этом анализ устойчивости оказывается весьма затруднительным. Однако критерий Найквиста может быть использован для суждения о робастной устойчивости, если ввести в рассмотрение модельную неопределенность как частотную функцию (модельную неопределенность в частотной области), которая оценивает уровень модельной неопределенности для каждого значения частоты. В общем случае, как показала практика, неопределенность имеет тенденцию быть больше на высоких частотах и модуль АФХ разомкнутой системы может быть измерен точнее, чем ее аргумент (фаза).

С помощью критерия Найквиста можно определить робастную устойчивость. Число охватов критической точки (-1, j0) АФХ разомкнутой системы (диаграммой Найквиста) является решающим тестом в частотной области для ответа на вопрос о номинальной устойчивости. Если число охватов удовлетворяет условию номинальной устойчивости, расстояние от АФХ разомкнутой системы до критической точки (-1,j0) определяет робастную устойчивость в терминах модельной неопределенности в частотной области. Это расстояние |1+W(jw)| (см. рисунок ниже) обратно

п ропорционально модулю |S(jw)| так называемой функции чувствительности

Таким образом, малая чувствительность на данной частоте соответствует большему расстоянию от АФХ разомкнутой системы до критической точки

(-1,j0) и отсюда высокой робастной устойчивости на этой частоте.

Величина

является мерой робастной устойчивости. Величина определяет наименьшее расстояние от АФХ разомкнутой системы до критической точки (-1,j0). Рекомендуемое значение лежит между 1.2 и 2.

Запас устойчивости по модулю является мерой робастной устойчивости для частоты w_π, на которой ФЧХ разомкнутой системы равна -180 градусам. Этот запас есть количественная оценка робастной устойчивости при «чистом» отклонении (возмущении) модуля АФХ разомкнутой системы. В то время как запас устойчивости по фазе является количественной мерой робастной устойчивости для частот (они называются частотами среза w_с), на которых модуль АФХ разомкнутой системы принимает значения, равные единице. Этот запас есть количественная оценка робастной устойчивости при «чистом» отклонении (возмущении) фазы АФХ разомкнутой системы. Заметим, что замкнутая система с модулем АФХ (со значениями АЧХ), превышающим единицу в некотором диапазоне частот, имеет ограниченный запас устойчивости по фазе, что вытекает из критерия Найквиста. Никогда не забывайте, что расстояние от АФХ разомкнутой системы до критической точки (-1,j0) неуместно для использования, если число охватов не удовлетворяет критерию Найквиста, т.е. если номинальная устойчивость не имеет места. Вот почему непродуманное использование управляющего устройства с высоким коэффициентом усиления не может служить как жизнеспособная стратегия управления.

49. Логарифмический критерий устойчивости.

Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать также логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (диаграммы Боде). Рассмотрим вначале ситуацию, когда каждая из логарифмических частотных характеристик лишь один раз пересекает ось частот и разомкнутая система является устойчивой.