78. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Построение общего решения.

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от , . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем два неопределенных интеграла.

79. Однородные дифференциальные уравнения. Построение общего решения.

Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде

или

где , - однородные функции одной и той же степени, т.е. для некоторого натурального числа и для произвольного справедливы равенства

Для решения однородного дифференциального уравнения необходимо сделать замену переменных , которая сводит однородное дифференциальное уравнение к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

80. Линейные уравнения и уравнение Бернулли. Построение общего решения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальными уравнениями. Для его решения обычно используют метод вариации постоянной. Для этого сначала необходимо решить соответствующее однородное дифференциальное уравнение

которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Полученное общее решение этого уравнения надо подставить в исходное обыкновенное дифференциальное уравнение, неоднородное дифференциальное уравнение, считая, что . Затем необходимо решить полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции и подставить его решение в ранее полученную формулу .

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

Чтобы решить уравнение Бернулли необходимо сделать замену переменной . После замены будет получено линейное дифференциальное уравнение.

81. Уравнения в полных дифференциалах. Построение общего решения.

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением в полных диффернциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой гладкой функции , т.е. если , . Необходимое и достаточное условие для существования такой функции имеет вид:

Чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах необходимо найти функцию . Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде для произвольной постоянной .

Интегрирующим множителем для дифференциального уравнения

называется такая функция , после умножения на которую дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции и в уравнении имеют непрерывные частные производные и не обращаются в ноль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако, общего метода для его отыскания не существует.