- •75. Понятия дифференциального уравнения и его решения. Порядок дифференциального уравнения. Общее, особое, частное решения.
- •76. Задача Коши для уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности. (Формулировка).
- •77. Поле направлений. Изоклины. Семейство интегральных кривых уравнения первого порядка.
- •78. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Построение общего решения.
- •79. Однородные дифференциальные уравнения. Построение общего решения.
- •80. Линейные уравнения и уравнение Бернулли. Построение общего решения.
- •81. Уравнения в полных дифференциалах. Построение общего решения.
- •82. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. (Формулировка).
- •84. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Метод Эйлера. Представление общего решения.
- •85. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения для вещественных, комплексных и кратных корней характеристического уравнения.
- •86. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
- •87. Метод неопределенных коэффициентов для построения частных решений неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •88. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •89. Подстановка и матричный методы построения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
84. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Метод Эйлера. Представление общего решения.
Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где k = const.
Т.к. то
При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
т.е.
Т.к. ekx ¹ 0, то - это уравнение называется характеристическим уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.
Метод Эйлера. Рассмотрим дифференциальное уравнение (1)
с начальным условием
Подставив в уравнение (1), получим значение производной в точке :
При малом имеет место:
Обозначив , перепишем последнее равенство в виде: (2)
Принимая теперь за новую исходную точку, точно также получим:
В общем случае будем иметь: (3)
Это и есть метод Эйлера. Величина называется шагом интегрирования. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у , так как производная на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной . Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у , тем большую, чем больше . Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.
85. Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения для вещественных, комплексных и кратных корней характеристического уравнения.
Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней
Рассмотрим уравнение y'' - 3y' + 2y = 0. Его характеристическое уравнение l2 - 3l + 2 = 0 имеет два различных действительных корня l1 =1 и l2 =2. Фундаментальная система решений уравнения: y1 = exp(l1x)=exp(x) и y2 = exp(l2x)=exp(2x) Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x) + c2exp(2x).
Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней
Рассмотрим уравнение y'' - 2y' + 5y = 0. Его характеристическое уравнение l2 - 2l + 5 = 0 имеет пару комплексно сопряженных корней l1 = 1-2i, l2 = 1+ 2i. Фундаментальная система решений уравнения: exp(x)cos2x, exp(x)sin2x. Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x)cos2x + c2exp(x)sin2x.
Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней
Рассмотрим уравнение y''- 2y' + y = 0. Его характеристическое уравнение l2 - 2l + 1 = 0 имеет один кратный действительный корень l1 = l2 = 1. Фундаментальная система решений уравнения: y1 = exp(x) и y2= xexp(x) Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x) + c2xexp(x).