82. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. (Формулировка).

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0, где F - известная функция (n+2) переменных, определенная в области D М Rⁿ⁺², x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y(x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет  уравнению для всех xО(a, b).

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если правая часть уравнения y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)) и ее частные производные по переменным y, y', y'', ..., y^(n-1) непрерывны в области GМ Rⁿ⁺¹, то для любой точки (x₀, y₀, y_0,1, y_0,2, ..., y_0,n-1) из G на некотором интервале (x₀-h, x₀+h) существует единственное решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1. 

83. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения. Фундаментальная система решений и структура общего решения однородного уравнения. Вид общего решения неоднородного уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных  вида:

 

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0.

 

  Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

 

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

  Определение. Если из функций y_i составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

Теорема. Если функции  линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения   была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если   - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

,

где C_i –постоянные коэффициенты.