«Визначення ймовірності події. Теореми додавання I множення ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формула Байеса»

1. Кинули дві гральні кості. Визначити ймовірність того, що на обох випадуть однакові числа.

Решение. Рассмотрим, например, вариант выпадения 1 на всех игральных костях. Вероятность выпадения 1 на любой из костей очевидно равна 1/6. При этом результат выпадения на одной кости не влияет на результат выпадения на других, т.е. события независимые. Тогда вероятность выпадения 1 на двух костях равна:

Очевидно, что вероятность выпадения на двух костях других чисел такая же. Тогда, получим, что искомая вероятность равна:

Ответ:

2. Робочий обслуговує 3 станка. Ймовірність того, що протягом години його уваги потребує перший станок дорівнює 0,8, другий - 0,6, третій – 0,5. Найти ймовірність того, що протягом години уваги робочого потребують якісь два станка.

Решение.

Ймовірність того, що протягом години його уваги потребує перший станок – 0,8;

ймовірність того, що протягом години його уваги потребує другий станок – 0,6;

ймовірність того, що протягом години його уваги потребує третій станок – 0,5.

Ответ: 0,46

3. Два стрільці одночасно вистрілили по цілі. Ймовірність влучення одного з них 0,7, а другого 0,8. Яка ймовірність того, що: а) один з них влучить, а другий не влучить; б) буде принаймні одне влучення?

Решение.

Ймовірність влучення першого - 0,7;

ймовірність влучення другого - 0,8.

Ответ: а) 0,38; б)0,94.

4. В групі 20 студентів, з яких 12 відмінників. Довільним образом відібрали 5 студентів. Визначити ймовірність того, що з відібраних немає відмінників.

5. Кинули дві гральні кості. Визначити ймовірність того, що на обох випаде у сумі число 8.

6. Диспетчер обслуговує 3 лінії. Ймовірність того, що протягом години виклик поступить по одній лінії дорівнює 0,3. по другій – 0,4, по третій – 0,6. Визначити ймовірність того, що протягом години виклик поступить лише по двом лініям.

Ймовірність того, що протягом години виклик поступить по одній лінії – 0,3;

ймовірність того, що протягом години виклик поступить по другій лінії – 0,4;

ймовірність того, що протягом години виклик поступить по третій – 0,6.

Ответ: 0,324

7. В списку службовців 7 інженерів і 3 техніка. Довільним образом зі списку обрали 2 фамілії. Визначити ймовірність того, що ці фамілії належать інженерам.

8. Покупець придбав годинник i калькулятор. Ймовірність того, що годинник не вийде з ладу на протязі гарантійного терміну, дорівнює 0,95; для калькулятора – 0,9. Знайти ймовірність того, що: а) обидва механізми витримають гарантійний термін; б) обидва механізми не витримають гарантійний термін; в) один механізм витримає гарантійний термін.

9. У першій партії 90% доброякісних виробів, в другій партії таких виробів – 95%. Наугад вибирають по одному виробу з кожної партії. Яка вірогідність виявити серед них хоч би одне браковане?

10. 10 студентів розв’язують задачу. З них 2 навчаються на "відмінно", 5 – на "добре", 3 – на "задовільно". Ймовірність того, що задача буде розв'язана "відмінниками", дорівнює 0,9; тим, що навчаються на "добре", – 0,8; тим, що на "задовільно", – 0,5. Яка ймовірність розв'язання задачі?

11. Кидають два кубика одночасно. Визначити ймовірність того, що на обох кубиках випаде число, яке дорівнює семи.

12. Податкові інспектори роблять перевірку діяльності підприємств: перший обслуговує 40 підприємств, серед яких 25% не мають заборгованостей, другий – 60 підприємств, із них 40% – без заборгованостей. Яка ймовірність того, що навмання обране підприємство не має заборгованості?

13. З урни, що містить 1 білий і 4 чорних кулі по черзі дістали дві кулі. Визначити ймовірність того, що вони обидві чорні.

14. Студент знає 50 з 60 питань. Знайти ймовірність того, що студент відповість на два питання.

15. В команді 12 спортсменів, з яких 8 є кандидатами в майстри спорту. На змаганнях медалі отримали 2 спортсмени. Яка ймовірність того, що медалі отримали кандидати в майстри?

16. Для повідомлення про аварію установили два незалежно працюючих автомати. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший автомат, дорівнює 0,9; другий – 0,95. Знайти ймовірність того, що при аварії надійде сигнал: а) тільки від одного автомата; б) хоча б з одного автомата.

17. На столі в певному порядку лежать 32 екзаменаційні білета. Визначити ймовірність того, що номер навмання вибраного білета буде числом, кратним 3 або 7.

18. Прилад може працювати в двох режимах: а) нормальний; б) ненормальний. Нормальний режим спостерігається з ймовірністю 0,8; ненормальний – 0,2. Ймовірність того, що прилад вийде з ладу за час в нормальному режимі, дорівнює 0,1; в ненормальному – 0,7. Знайти повну ймовірність того, що прилад вийде з ладу за час .

19. В ящику 10 стандартних и 2 нестандартні деталі. З ящика у випадковому порядку виймають дві деталі. Найти ймовірність того, що ці деталі будуть нестандартними.

20. Від аеровокзалу відправляються 2 автобуси до трапа лiтакiв. Ймовірність своєчасного прибуття кожного автобуса дорівнює 0,95. Знайти ймовірність того, що: а) обидва автобуси прибудуть своєчасно; б) обидва автобуса спізняться; в) тільки один автобус прибуде своєчасно; г) хоча б один автобус прибуде своєчасно.

21. В партії із 10 деталей 8 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 3 узятих навмання всі деталі стандартні.

22. На заводі деталі виготовляються на трьох верстатах. Ймовірність браку на першому верстаті 0,02; на другому – 0,01; на третьому – 0,05. Знайти ймовірність того, що навмання узята деталь буде без браку, якщо з першого автомата надійшло 200 деталей, з другого – 250, з третього – 50.

23. З гаража у випадковому порядку послідовно виходять три автобуса маршруту №1, №4, №2. Найти ймовірність того, що другим по порядку на лінію вийде автобус №2.

24. Магазин отримує продукцію від двох виробників: перший постачає 2/5 усіх виробів, другий – 3/5. Ймовірність продажу виробів першого постачальника становить 0,95, другого – 0,8. Яка ймовірність того, що навмання вибраний виріб не буде реалізовано?

25. Кидають два кубика одночасно. Визначити ймовірність того, що на обох кубиках випаде число, яке дорівнює п’яти.

26. В екзаменаційному білеті три питання. Ймовірність того, що студент відповість на перше, друге, трете питання, дорівнює відповідно 0,8; 0,7; 0,5. Знайти ймовірність того, що студент відповість: а) тільки на одне питання; б) тільки на два питання; в) на всі три питання.

27. 3 стрілка одночасно роблять по одному пострілу по одній мішені; ймовірність влучення кожного відповідно дорівнює 0,3, 0,7, 0.8. Визначити ймовірність того, що до мішені влучить лише одна пуля.

28. Ймовірність виграшу по білету дорівнює 0,1. Знайти ймовірність виграти, маючи 4 білети, на 3 з них.

29. Кидають три монети. Знайти ймовірність того, що хоча б на одній з них випаде герб.

30. У трьох урнах білі та чорні кулі. В першій урні – 5 чорних i 2 білі, в другій – 4 чорні i 6 білих, в третій – 2 чорні i 4 білих. Знайти ймовірність того, що з навмання вибраної урни витягли білу кулю.

31. У вазі лежать 10 яблук и 6 груш. Випадковим образом з вази дістали 3 фрукта. Визначити ймовірність того, що 1 з них яблуко?

32. З 10 пострілів стрілок у середньому влучає в мішень 8 разів. Яка ймовірність того, що з трьох незалежних пострілів він точно два рази влучити в ціль?

33. Три студенти складають іспит. ймовірність того, що перший студент складе іспит, дорівнює 0.95, другий – 0.9, третій – 0.85. Знайти імовірність того, що всі три студента складуть іспит.

34. У підручнику 207 сторінок. Яка ймовірність того, що порядковий номер навмання відкритої сторінки закінчується цифрою 3?

35. У вазі 15 цукерок, 10 з них – шоколадні. Випадковим образом взяли 3 цукерки. Визначити ймовірність того, що всі 3 будуть шоколадними?

36. На столі лежать 32 екзаменаційних білетів. Знайти ймовірність того, що номер навмання взятого білета буде кратним семи.

37. Серед 13 електроламп є 2 нестандартні. На перевірку взяли 2 лампи. Визначити ймовірність того, що одна з них є стандартною, а друга – ні.

38. Серед деталей, які надходять на зборку з першого станка 0,1% бракованих, з другого – 0,2%, з третього – 0,25%, з четвертого – 0,5%. Кількість виготовлених деталей на цих станках відносяться як 4:3:2:1. Взята навмання деталь є стандартною. Визначити ймовірність того, що вона виготовлена на першому станку.

39. Робочий обслуговує 3 станка. Ймовірність того, що протягом години його уваги потребує перший станок дорівнює 0,7, другий - 0,8, третій – 0,6. Найти ймовірність того, що протягом години уваги робочого потребують якісь два станка.

40. До продажу надходять телевізори з трьох заводів. У продукції першого заводу брак складає 1%, другого – 2%, третього – 1,5%. Яка ймовірність придбати телевізор без браку, якщо до магазину надійшло 30% телевізорів з першого заводу, 20% – з другого, 50% – з третього?

41. Помішали нитки червоного (40%) і білого (60%) кольору. Навмання взяли дві нитки. Найти ймовірність того, що вони одного кольору.

42. На полиці 15 тарілок, 5 з них фарфорові. Випадковим образом взяли 3 тарілки. Визначити ймовірність того, що дві з них будуть фарфоровими?

43. У ящики стола 10 дискет, 1 з них – пуста (без файлів). Випадковим образом дістають дві дискету. Визначити ймовірність того, що вони не будуть пустими?

44. Кинуто дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума чисел на двох гранях дорівнює 8.

45. На полиці 19 підручників, 4 з них з теорії ймовірності. Випадковим образом взяли 2 підручника. Визначити ймовірність того, що один з них по теорії ймовірності, інший -ні.

46. Виріб перевіряється на стандартність одним із двох працівників. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого працівника, дорівнює 0,55, до другого – 0,45. Ймовірність того, що виріб буде визнаватися стандартним першим працівником дорівнює 0,9, другим – 0,95. Виріб під час перевірки був визнаний стандартним. Яка ймовірність того, що цей виріб перевірив другий працівник?

47. Троє стрілків зробили по одному пострілу по мішені. Імовірності влучення одним пострілом для цих мисливців дорівнюють відповідно 0,7; 0,4; 0,8. Знайти ймовірність того, що до мішені влучили всі три стрілка.

48. У групі 15 юнаків i 10 дівчат. Для чергування призначають 5 студентів. Яка ймовірність того, що серед них 2 дівчини?

49. У відділ технічного контролю фабрики надійшли до огляду 80 костюмів, з яких 50 одного фасону, а 30 – інші. Знайти ймовірність того, що взяті навмання для огляду два костюми будуть різних фасонів

50. Абоненти пейджингового зв’язку не отримують відправлення з ймовірністю 0,2. Визначити ймовірність того, що серед 400 відправлених повідомлень буде не більше 50 не отриманих повідомлень?

51. В команді 12 спортсменів, з яких 8 є кандидатами в майстри спорту. На змаганнях медалі отримали 2 спортсмени. Яка ймовірність того, що медалі отримали кандидати в майстри?

52. Два рівносильних противника грають у більярд. Що ймовірніше, виграти одну партію з двох чи 2 з 3?

53. При вибуху снаряда знайшлися великі, середні та малі частини у відношенні 1:3:6. При влученні у танк великий шматок проб’є броню із ймовірністю 0,9, середній – 0,3, малий – 0,1. Яка імовірність того, що влучений у броню шматок проб’є її?

54. В ящику лежать 5 старих і 8 нових тенісних м’ячів. Навмання взято два м’яча. Найти ймовірність того, що взято один новий і один старий м’ячі?

55. У партії із 15 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 5 узятих навмання деталей 3 стандартні.

56. Маємо дві коробки з кулями. У першій міститься 2 білі і 4 чорних кулі, у другій – 1 біла та 4 чорних кулі. Навмання вибирають коробку та виймають з неї кулю. Знайти ймовірність того, що витягнута куля буде білою.

57. Готуючись до іспиту, студент вивчив 60 із 80 питань програми. Екзаменаційний білет складається з трьох питань. Знайти ймовірність того, що у вибраному білеті студент знає: а) усі три питання; б) тільки два питання; в) не знає жодного питання.

58. До складу надходить продукція трьох заводів, причому з першого – 30%, з другого – 45%, з третього – 25%. Ймовірність браку на першому заводі складає 3%, на другому – 2%, на третьому – 4%. Знайти ймовірність того, що навмання узятий виріб стандартний.

59. На полиці лежать светри однакового кольору, причому 20 з них чоловічі і 10 – жіночі. Довільним образом відібрали 6 светрів. Визначити ймовірність, що серед них всі 6 светрів або чоловічі або жіночі.

60. У результаті багаторічних спостережень встановлено, що ймовірність випадання дощу 1 жовтня в даному місті дорівнює 1/7. Визначити найімовірніше число дощових днів 1 жовтня в даному місті за 40 років.

61. Три атлета беруть участь у відбіркових змаганнях. Імовірності бути зарахованим у збірну команду першого, другого та третього атлетів відповідно дорівнюють 0,8; 0,7; 0,6. Знайти імовірність того, що хоча б один із них увійде в збірну.

62. Є дві урни, в кожній з яких знаходяться 4 білих та 6 чорних куль. З першої урни переклали (не дивлячись) одну кулю до другої урни, а потім з другої вийняли одну кулю. Визначити ймовірність того, що вийнятий шар є чорним.

63. Контролю підлягає 250 деталей, з яких 5 нестандартних. Визначити ймовірність того, що наугад взяті дві деталі будуть стандартними.

64. Податкові інспектори роблять перевірку діяльності підприємств: перший обслуговує 40 підприємств, серед яких 25% не мають заборгованостей, другий – 60 підприємств, із них 40% – без заборгованостей. Яка ймовірність того, що навмання обране підприємство не має заборгованості і його перевіряв перший інспектор?

65. У шухляді 15 олівців, з них 10 білих и 5 чорних. Виймають одразу два олівця. Визначити ймовірність того, що ці олівці будуть білим та чорним.