3. Задача планирования выпуска продукции

3.1. Задание

Экономическая система состоит их трех отраслей. Объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период, текущее производственное потребление в отраслях, а также прогнозируемый конечный спрос продукции каждой из трех отраслей приведены в табл. 8.

Таблица 8

Отрасли	Объемы производства отраслей	Производственное потребление отраслей за предыдущий период			Прогнози- руемый конечный спрос
		1	2	3
1 2 3	600 1000 800	250 150 0	100 500 300	160 0 400	2000 2000 3000

Определить конечную продукцию каждой из отраслей за предыдущий период и план выпуска продукции в следующем периоде, считая, что технология производства не изменилась.

3.2. Построение балансовой модели

3.2.1. Математическая постановка задачи

Для решения поставленной задачи можно использовать балансовую модель Леонтьева. Она представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этой продукции. В рассматриваемой задаче экономическая система состоит из трех отраслей.

Пусть Х_i - величина, равная суммарному выпуску продукции отрасли - i;

x_ij - количество продукции отрасли i, необходимой для того, чтобы отрасль j произвела X_j единиц своей продукции;

Y_i - количество продукции отрасли i, остающееся после удовлетворения внутреннего спроса отраслей (конечная продукция).

Тогда взаимосвязь отраслей в процессе производства и потребления отдельного продукта Х_i (i=1, 2, 3) может быть описана в виде следующих уравнений:

(11)

Используем понятие коэффициентов прямых затрат (технологического коэффициента) a_ij:

- количество продукции отрасли i, необходимой для того, чтобы отрасль j произвела одну единицу своей продукции.

Тогда x_ij=a_ijX_j и система уравнений (11) будет иметь следующий вид:

(12)

Или в матричной форме

X=AX+Y, (13)

где - матрица прямых затрат,

Х - вектор-столбец выпуска продукции в предыдущем периоде;

Y - вектор-столбец конечного спроса в предыдущем периоде.

3.2.2. Аналитическое решение задачи

Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X₁=600, X₂=1000, X₃= 800 и значения x_ij (i,j=1, 2, 3):

Отсюда, используя табл. 8, можно определить значения Y_i, i=1, 2, 3 конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден: Y=(90, 350, 100).

Для определения вектора выпуска продукции Х при заданном конечном прогнозируемом векторе спроса Y=(2000, 2000, 3000) надо решить систему уравнений (13), из которой следует, что

(14)

где Е - единичная матрица;

S=(E-A)^-1 - называется матрицей полных затрат.

Определение коэффициентов прямых затрат

Учитывая, что технология производства не изменилась, определим коэффициенты прямых затрат a_ij:

Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат будет иметь вид

.

Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А0.

Для того чтобы система уравнений (13) имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной.

Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции.

С математической точки зрения достаточно, чтобы сумма элементов каждого из столбцов матрицы А была положительна и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение (14) имеет смысл и вектор Y неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Х можно воспользоваться формулой (14).