- •1. Основные понятия и факты связанные с д.У.
- •2.Существование, единственность и приближенное решение задачи Коши
- •3. Д.У., описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и д.Р.)
- •4. Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6. Линейные уравнения 1-ого порядка.
- •7. Уравнение Бернулли и Риккати.
- •8. Уравнения в полных дифференциалах.
- •9. Интегрирующий множитель
- •12. Уравнение Клеро и Лагранжа.
- •13. Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14. Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15. Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16. Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17. Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18. Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •22.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •23.Метод неопределенных коэффициентов для линейных уравнений.
- •24.Уравнения Эйлера.
- •25.Линейные однородные системы.
- •26.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
- •27. Метод Лагранжа для линейных систем.
- •29.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •31.Устойчивость решений. Система первого приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •32.Фазовая плоскость. Обоснование одной (любой) из фазовых картин.
- •33.Линейные интегральные уравнения второго рода. Случай вырожденного ядра.
- •34.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
- •1. Основные понятия и факты связанные с д.У(1)
- •2.Существование, единственность и приближенное решение задачи Коши(2)
1. Основные понятия и факты связанные с д.У.
Определение: Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка ―уравнение вида в котором ―независимая переменная, ―искомая функция, ―заданная функция.
Кроме обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальное уравнение в частных производных: для функций нескольких переменных. (Для ―обыкновенная производная).
Дифференциальное уравнение -го порядка ― лишь бы была (а все остальное может отсутствовать)
Системы дифференциальных уравнений.
Решить: найти все решения (либо доказать, что их нет).
Решение ― объект, который при подстановке обращает уравнение в истинное
Пусть ―решение дифференциальное уравнение : .
Определение: Решение дифференциального уравнения получено в квадратурах, если оно выражено через элементарные функции посредством конечного числа арифметических операций, операций образования сложной функции и несобственных интегралов, при этом решение может быть функцией, заданной явно, неявно, параметрически, а неопределенные интегралы могут быть неберущимися.
(обычно решить ― решить в квадратурах)
― разные формы записи
. Теперь неизвестна.
Для решения в квадратурах менять ролями переменные в дифференциальных уравнениях можно (получается неявная функция)
Определение: Начальное условие для уравнения ―следующее дополнительное условие для его решения: , где ―заданные числа
2.Существование, единственность и приближенное решение задачи Коши
Определение: Начальное условие для уравнения ―следующее дополнительное условие для его решения: , где ―заданные числа
Определение: и ―задача Коши (решить дифференциальные уравнения с начальными условиями).
Наиболее типично: у задачи Коши единственное решение (но не всегда).
Теорема: Пусть в прямоугольнике является непрерывной функцией .
Пусть , где такое дифференциальное уравнение, что . Тогда по меньшей мере на отрезке единственное решение задачи Коши . [Без доказательства]
формулы для приближенного решения задачи Коши (в общем случае точной формулы не существует):
, где ―такое число, для которого в прямоугольнике П .
.
Пример: не решается в квадратурах (это доказано)
Задача Коши:
3. Д.У., описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и д.Р.)
Задача о радиоактивном распаде.
―время, ―масса вещества.
Задача о гармонических колебаниях
― уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной
4. Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
5. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
уравнение с разделенными переменными:
уравнение с разделяющимися переменными:
(следить за пропажей корней)
уравнение вида
―новая функция, зависящая от
4) однородное уравнение:
5) уравнение вида .
единственное решение: ―решение (*)???
.