- •1. Основные понятия и факты связанные с д.У.
- •2.Существование, единственность и приближенное решение задачи Коши
- •3. Д.У., описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и д.Р.)
- •4. Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6. Линейные уравнения 1-ого порядка.
- •7. Уравнение Бернулли и Риккати.
- •8. Уравнения в полных дифференциалах.
- •9. Интегрирующий множитель
- •12. Уравнение Клеро и Лагранжа.
- •13. Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14. Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15. Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16. Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17. Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18. Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •22.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •23.Метод неопределенных коэффициентов для линейных уравнений.
- •24.Уравнения Эйлера.
- •25.Линейные однородные системы.
- •26.Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
- •27. Метод Лагранжа для линейных систем.
- •29.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •31.Устойчивость решений. Система первого приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •32.Фазовая плоскость. Обоснование одной (любой) из фазовых картин.
- •33.Линейные интегральные уравнения второго рода. Случай вырожденного ядра.
- •34.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
- •1. Основные понятия и факты связанные с д.У(1)
- •2.Существование, единственность и приближенное решение задачи Коши(2)
12. Уравнение Клеро и Лагранжа.
5) Частный случай (6)
― уравнение Клеро.
Пример:
Общее решение:
Ответ: .
(парабола касается всех этих прямых).
6) ― уравнение Лагранжа
(частный случай )
― линейное уравнение
13. Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
― уравнение порядка , разрешенные относительно старшей производной.
Обычно решение ― совокупность функций, зависящих от произвольных постоянных. .
Общее решение: .
Частное решение ― общее с конкретными .
Особое решение ― которое не получается из общего приданием значений константам.
Дополнительные условия:
― начальные условия.
― задача Коши
Теорема: Пусть в некоторой окрестности точки являются непрерывными функции . Тогда в некоторой окрестности точки единственное решение задачи Коши .
Далее ― о частных случаях.
или
1)
Ответ:
2) Предположим, что в (3) , тогда (3) –уравнение в точных производных. – не обязательно решается, но лучше тем, что порядок его на единицу меньше. В общем случае неизвестно, как находить .
3) Пусть в (3) у существует свойство: . . Свойство однородности функции относительно ( – степень однородности). Тогда порядок (3) можно понизить на 1.
Замена: ,
…
- решается не всегда.
4)
.
Проинтегрировав раз, получим решение. Но решение для может быть другим: в неявном виде, параметрическом виде.
5)
(или параметрически). Вместо – .
14. Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
уравнений с неизвестными. .
Формы записи:
1. Нормальная: (1)
2. Симметричная:
(2)
– система уравнений.
Легко переводятся одна в другую:
из (2) в (1):
из (1) в (2): .
Решение – совокупность функций, в этой совокупности присутствуют производных постоянных: .
Константы – одни и те же для любых .
Начальные условия: (3).
((1) или (2)) и (3) – задача Коши.
Теорема: Пусть в окрестности точки существуют и непрерывны . Тогда в некоторой окрестности решение задачи Коши (1), (3).
Метод исключения.
Пример: ; Подставляем во второе:
Ответ:
После исключения получаем уравнение большего порядка. Не всегда можем исключать функции. Общий случай для этого метода.
. Дифференцируем:
Получим штук равенств, которые связывают Будем исключать Выберем из равенства №1, подставляем во все остальные равенства. Выбираем из равенства №2, подставляем во все остальные. Получаем дифференциальное уравнение -го порядка (будет содержать ).
Определение: интеграл системы (1) – непрерывная дифференцируемая функция , дифференциал которой, вычисленный в силу системы (1), тождественно равен нолю, т. е. [вычисленный в силу системы – значит, что находят из равенств системы (1), т.е. ]=
.
Определение: Первый интеграл системы (1) – соотношение , где – интеграл системы (1), а .
Определение: Интегралы системы (1) – независимые, если .
Определение: Общий интеграл системы (1) – совокупность его первых интегралов , для которых соответствующие интегралы независимы.
Система (1) считается решенной, если найден её общий интеграл. (Общий интеграл – аналог решения в неявном виде.) Общий интеграл удобно находить для систем в симметричной форме, т. к. тогда удобно использовать свойство равных дробей:
Если , то для .