36. Выпуклость функции на промежутке, условие выпуклости, точки перегиба

В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), если для любых двух точек x, y из этого интервала и для любого числа t, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство

Если это неравенство является строгим для всех t из интервала (0,1), функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

Свойства выпуклых функций

Функция f, выпуклая на интервале C, непрерывна на всём C и дифференцируема на всём C за исключением не более чем счётного множества точек.

Непрерывная функция f выпукла на C тогда и только тогда, когда для всех точек x и y, принадлежащих C, выполняется неравенство

Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция f(x)=x4 строго выпукла на [-1,1], но её вторая производная в точке x=0 равна нулю).

Если функции f, g выпуклы, то любая их линейная комбинация a f+b g с положительными коэффициентами a, b также выпукла.

Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).

Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

     где X — случайная величина со значениями в области определения функции f, E — математическое ожидание.

Точка перегиба функции внутренняя точка x0 области определения f, такая что f непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и x0 является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз.

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то .

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и , и при , а , то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.

37. Схема построения графиков функций

1.      Область определения

2.      Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство , то – нечетная функция; в противном случае, – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3.      Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения с осью ОХ: , где  – решение уравнения .

Точки пересечения с осью ОY: .

4.      Нахождение промежутков знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е.  или .

5.      Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

6.      Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

7.      Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба

Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

8.      Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва  необходимо вычислить односторонние пределы:  и  . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая  – вертикальная асимптота.

При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при  и . Для этого нужно вычислить следующие пределы: и  . Если оба предела существуют, то  – уравнение наклонной асимптоты при . Частный случай наклонной асимптоты при  – горизонтальная асимптота.  Аналогично ищется наклонная асимптота при . 

9.      Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)