8. Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Единственность предела

Формулировка: Если числовая последовательность имеет конечный предел, что он единственный.

Доказательство:

(от противного) пусть существуют 2 предела a₁, a₂ и они не равны друг другу. пусть a₁<a₂ рассмотрим вещественное число р, такое что a₁<p<a₂ по определению предела получается, что: 1. так как предел =a₁ и a₁<p, существует номер N₁ такой, что при всех номерах больше N₁ все элементы последовательности будут меньше p. 2. так как предел =a₂ и a₂>p, существует номер N₂ такой, что при всех номерах больше N₂ все элементы последовательности будут больше p. выбираем максимальный (N) из N₁ и N₂. из первого вывода следует то, что все элементы последовательности при номерах больше N будут меньше р, а из второго при тех же номерах - больше р. Противоречие, следовательно не может существовать 2 различных пределов у 1 последовательности. А раз не могут существовать 2, то не может и больше. Значит у последовательности, имеющей конечный предел, он только 1. что и требовалось доказать.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

  Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена. Определение. Числовая последовательность {x_n} ограничена, если существует такое конечное число К, что для всех n выполнено

d (x_n, a ) < K.

  Доказательство. Пусть

Тогда

N: n > N: d (x_n, a) < 1.

 Внутри окрестности радиуса R = 1 бесконечное число точек, а вне этой окрестности конечное число точек, допустим, что это точки x₁, x₂, … x_N. Выберем число

,

тогда уже для всех n будет выполнено

d (x_n, a ) < K.

9. Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

• Если последовательность (x_n) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x_n), которая является ограниченной.

• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

• Любую сходящуюся последовательность (x_n) можно представить в виде (x_n) = (a + α_n), где a — предел последовательности (x_n), а α_n — некоторая бесконечно малая последовательность.

• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

10. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.

• Если (x_n) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x_n), которая является бесконечно малой. Если же (x_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

• Если (α_n) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α_n), которая является бесконечно большой. Если же (α_n) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α_n) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

• Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

• Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

• Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

• Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

11. Критерий сходимости монотонной последовательности: монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.

Доказательство:

Необходимость очевидна. Если последовательность монотонна и является при этом сходящейся, то из общих свойств сходящихся последовательностей следует, что она ограничена.

Достаточность. Пусть последовательность монотонна и ограничена. Покажем, что она сходится.  Пусть последовательность монотонно не убывает и ограничена сверху. Так как последовательность ограничена, то множество её значений будет непустым, ограниченным сверху подмножеством множества действительных чисел (дополнительное определение: множество  называют ограниченным сверху, если . В этом случае число М называют верхней границей множества А. Множество  называют ограниченным снизу, если . В этом случае число L называют нижней границей множества B. Если у множества существуют и верхняя и нижняя граница, то оно ограничено).

Тогда в силу принципа верхней грани у этого множества существует точная верхняя граница.

(дополнительное определение: Точной верхней границей множества А (или верхней гранью) называется наименьшая из всех его верхних границ. Обозначение sup A. Наибольшую из нижних границ множества В называют его точной нижней границей (или нижней гранью). Обозначается inf B. Принцип верхней грани: всякое непустое, ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел обладает точной верхней границей и при том единственной).

Обозначим точную границу множества значений последовательности через . Покажем, что  является пределом данной последовательности. Действительно, так как является точной верхней гранью множества значений последовательности, то .

Пусть N= . Тогда  данное неравенство тем более будет выполняться, так как последовательность не убывает. Таким образом, , то есть , то есть - предел последовательности. Следовательно,  сходится (доказательство для монотонно невозрастающей ограниченной снизу последовательности аналогично).

Пример любой из тетрадки)

12. e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Определение. Последовательность вложенных отрезков [x₁,y₁],[x₂,y₂],...,[x_n,y_n] называется последовательностью стягивающихся отрезков, если  : .

Теорема.

Если [x₁,y₁],[x₂,y₂],...,[x_n,y_n] - последовательность стягивающихся отрезков, то ! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Доказательство теоремы.

, .

Множество ограничено сверху

Множество ограничено снизу

, ; ; .

Покажем, что .

Предположим, что . Тогда чего быть не может.

Предположим, что . Тогда β − α = 0. Положим ε = β − α.

(ε)(y_n − x_n) < ε.

: ε = β − α y_n − x_n < ε. (*)

Значит, α = β.

13. Подпоследовательность последовательности (x_n) — это последовательность , где (n_k) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.

• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.